题解：AcWing 800 数组元素的目标和

【题目来源】

AcWing：800 数组元素的目标和 - AcWing题库

【题目描述】

给定两个升序排序的有序数组 \(A\) 和 \(B\)，以及一个目标值 \(x\)。

数组下标从 \(0\) 开始。

请你求出满足 \(A[i]+B[j]=x\) 的数对 \((i,j)\)。

数据保证有唯一解。

【输入】

第一行包含三个整数 \(n,m,x\)，分别表示 \(A\) 的长度，\(B\) 的长度以及目标值 \(x\)。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示数组 \(A\)。

第三行包含 \(m\) 个整数，表示数组 \(B\)。

【输出】

共一行，包含两个整数 \(i\) 和 \(j\)。

【输入样例】

4 5 6
1 2 4 7
3 4 6 8 9

【输出样例】

1 1

【核心思想】

1. 问题分析：给定两个已按升序排列的数组 \(A\)（长度 \(n\)）和 \(B\)（长度 \(m\)），以及目标和 \(x\)，需要找到满足 \(A[i] + B[j] = x\) 的唯一数对 \((i, j)\)。这是一个双指针（对撞指针）问题，关键在于如何利用数组的有序性高效查找。

2. 算法选择：

   • 双指针（对撞指针）：一个指针 \(i\) 从数组 \(A\) 的起始位置（\(0\)）向右移动，另一个指针 \(j\) 从数组 \(B\) 的末尾位置（\(m-1\)）向左移动
   • 单调性利用：由于 \(A\) 升序、\(B\) 升序，当 \(A[i]\) 增大时，需要 \(B[j]\) 减小才能保持和为 \(x\)

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(i = 0\)（指向 \(A\) 的起始），\(j = m - 1\)（指向 \(B\) 的末尾）
   • 遍历数组 \(A\)（\(i\) 从 \(0\) 到 \(n-1\)）：
     • 调整指针 \(j\)：当 a[i] + b[j] > x 时，说明 \(B[j]\) 太大，需要 \(j\) 左移寻找更小的 \(B[j]\)
     • 检查条件：如果 a[i] + b[j] == x，找到答案，输出 \((i, j)\) 并结束
   • 由于数据保证有唯一解，一定能找到答案

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n + m)\)，\(i\) 最多遍历 \(n\) 次，\(j\) 最多左移 \(m\) 次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，只使用了两个指针

5. 双指针（对撞指针）的核心思想：

   • 单调性利用：数组 \(A\) 递增、数组 \(B\) 递增，当 \(A[i]\) 增大时，\(B[j]\) 必须减小才能使和保持为 \(x\)
   • 对撞策略：一个指针从头开始，一个从尾开始，相向而行
   • 避免枚举：不需要枚举所有 \(n \times m\) 个数对，利用单调性将复杂度从 \(O(nm)\) 降到 \(O(n+m)\)
   • 贪心正确性：对于当前的 \(A[i]\)，找到最大的 \(B[j]\) 使得 \(A[i] + B[j] \leq x\)，如果等于则找到答案，如果小于则 \(i\) 右移（因为更大的 \(A[i]\) 需要更小的 \(B[j]\)）
   • 适用于两数组之和等于目标值、两数之和类问题

【解题思路】

【算法标签】

双指针

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;  // 定义数组最大长度

int n, m, x;          // n: 数组a的长度, m: 数组b的长度, x: 目标和
int a[N], b[N];       // 两个待处理的数组

int main()
{
    // 输入数组a的长度、数组b的长度和目标和x
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);

    // 输入数组a的元素
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    // 输入数组b的元素
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &b[i]);
    }

    // 双指针算法：i从数组a的起始位置开始，j从数组b的末尾开始
    for (int i = 0, j = m - 1; i < n; i++)
    {
        // 当两数之和大于x时，移动j指针向左寻找更小的数
        while (j >= 0 && a[i] + b[j] > x)
        {
            j--;
        }

        // 找到满足条件的数对
        if (a[i] + b[j] == x)
        {
            printf("%d %d\n", i, j);  // 输出下标
            break;                    // 找到后立即退出
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

4 5 6
1 2 4 7
3 4 6 8 9
1 1