题解：AcWing 3417 砝码称重

【题目来源】

AcWing：3417. 砝码称重 - AcWing题库

【题目描述】

你有一架天平和 \(N\) 个砝码，这 \(N\) 个砝码重量依次是 \(W_1,W_2,⋅⋅⋅,W_N\)。

请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？

注意砝码可以放在天平两边。

【输入】

输入的第一行包含一个整数 \(N\)。

第二行包含 \(N\) 个整数：\(W_1,W_2,W_3,⋅⋅⋅,W_N\)。

【输出】

输出一个整数代表答案。

【输入样例】

3
1 4 6

【输出样例】

10

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个砝码，重量分别为 \(W_1, W_2, \dots, W_N\)。每个砝码可以放在天平左边（加重量）、放在天平右边（减重量）或不使用。求能称出的不同正整数重量个数。这是一个布尔型DP问题，关键在于每个砝码有三种状态选择。

2. 算法选择：

   • 布尔型二维DP：f[i][j] 表示前 \(i\) 个砝码是否能称出重量 \(j\)（true/false）
   • 三状态转移：不放（继承）、放左边（+W[i]）、放右边（-W[i]，用绝对值处理）

3. 关键步骤：

   • 计算总重量：m = sum(W[i])，最大可称重量不超过总重量
   • 初始化：f[0][0] = true，表示0个砝码可以称出重量0
   • 状态转移：对于第 \(i\) 个砝码，遍历所有可能的重量 \(j\)（\(0 \leq j \leq m\)）
     • 不放：f[i][j] = f[i-1][j]
     • 放右边（对侧，相当于加在右边）：若 \(j + W[i] \leq m\)，则 f[i][j] |= f[i-1][j+W[i]]
     • 放左边（同侧，相当于减掉重量）：f[i][j] |= f[i-1][abs(j-W[i])]
   • 统计答案：遍历所有正整数重量 \(j\)（\(1 \leq j \leq m\)），若存在某个 \(i\) 使 f[i][j] == true，则重量 \(j\) 可达，ans++

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \times m)\)，其中 \(m = \sum W[i]\) 为所有砝码总重量
   • 空间复杂度：\(O(N \times m)\)，二维布尔数组

5. 布尔型DP（天平放置）的核心思想：

   • 三状态选择：每个砝码有三种选择，本质是01背包的扩展
   • 重量范围覆盖：由于重量可能通过减法产生（放右边），DP表覆盖了从0到总重量 \(m\) 的范围
   • 绝对值处理：使用 abs(j-W[i]) 处理减法后的非负重量
   • 统计策略：检查每个重量是否在任意前 \(i\) 个砝码时可达
   • 适用于"天平称重"、"正负选择"类问题

【解题思路】

【算法标签】

01背包

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, M = 100005;  // 定义最大物品数N和最大总重量M
int n, m;  // 物品数量n，总重量m
int w[N];  // 每个物品的重量
bool f[N][M];  // 动态规划数组，f[i][j]表示前i个物品能否称出重量j
int main()  // 主函数
{
    cin >> n;  // 输入物品数量
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 读取每个物品的重量
    {
        cin >> w[i];  // 输入第i个物品的重量
        m += w[i];  // 累加总重量
    }
    f[0][0] = 1;  // 初始状态：0个物品可以称出重量0
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 遍历每个物品
        for (int j=0; j<=m; j++)  // 遍历所有可能的重量
        {
            f[i][j] = f[i-1][j];  // 不使用第i个物品
            if (j+w[i]<=m)  // 如果将物品放在对侧（加在右边）
            {
                f[i][j] |= f[i-1][j+w[i]];  // 可以从j+w[i]转移过来
            }
            f[i][j] |= f[i-1][abs(j-w[i])];  // 如果将物品放在同侧（减掉重量）
        }
    int ans = 0;  // 可称出的不同重量数
    for (int j=1; j<=m; j++)  // 遍历所有可能的重量
        for (int i=0; i<=n; i++)  // 遍历所有物品数
            if (f[i][j])  // 如果该重量可以被称出
            {
                ans++;  // 计数加1
                break;  // 跳出内层循环
            }
    cout << ans << endl;  // 输出可称出的不同重量数
    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

3
1 4 6
10