题解：AcWing 148 合并果子

【题目来源】

【题目描述】

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 \(n-1\) 次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 \(1\) ，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 \(3\) 种果子，数目依次为 \(1\) ，\(2\) ，\(9\)。可以先将 \(1\) 、 \(2\) 堆合并，新堆数目为 \(3\) ，耗费体力为 \(3\)。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 \(12\)，耗费体力为 \(12\)。所以多多总共耗费体力 \(=3+12=15\)。可以证明 \(15\) 为最小的体力耗费值。

【输入】

共两行。第一行是一个整数 \(n(1\le n\le 10000)\) ，表示果子的种类数。

第二行包含 \(n\) 个整数，用空格分隔，第 \(i\) 个整数 \(a_i(1\le a_i\le 20000)\) 是第 \(i\) 种果子的数目。

【输出】

一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 \(2^{31}\)。

【输入样例】

3
1 2 9

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 堆果子，每堆有 \(a_i\) 个果子。每次可以将两堆果子合并，代价为两堆果子数量之和。经过 \(n-1\) 次合并后只剩一堆，求最小总代价。这是一个经典的哈夫曼贪心问题，关键在于每次选择数量最少的两堆进行合并。
算法选择：
- 哈夫曼贪心策略（Huffman Greedy）：每次选择数量最少的两堆合并，确保大堆尽量少参与合并
- 小根堆（优先队列）：使用 priority_queue 维护当前所有堆的数量，快速获取最小值
- 贪心正确性：每次合并最小的两堆，可以使大堆的合并次数最少，从而最小化总代价
关键步骤：
- 读取输入：\(n\)（果子种类数）、\(a_1, a_2, \ldots, a_n\)（每堆果子数量）
- 初始化小根堆：将所有 \(a_i\) 加入小根堆
- 贪心合并（重复 \(n-1\) 次）：
  - 取出最小两堆：x = heap.top()，y = heap.top()
  - 计算代价：res += x + y
  - 合并入堆：heap.push(x + y)
- 输出结果：最小总代价 \(res\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，每次堆操作 \(O(\log n)\)，共 \(n-1\) 次合并
- 空间复杂度：\(O(n)\)，小根堆存储所有堆的数量
哈夫曼贪心的核心思想：
- 局部最优选择：每次选择最小的两堆合并，这是当前最优的选择
- 全局最优保证：通过数学归纳法可以证明，这种贪心策略能得到全局最优解
- 堆结构优化：使用小根堆可以在 \(O(\log n)\) 时间内获取最小值，高效支持贪心选择
- 类比哈夫曼编码：与构建哈夫曼树的策略相同，频率低的字符编码长，频率高的编码短
- 适用于最优合并、最优编码、带权路径长度最小化等问题

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int n;  // 输入的数字个数
    cin >> n;

    // 定义一个小根堆（优先队列），用于存储数字并快速获取最小值
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;

    // 输入 n 个数字，并将它们加入小根堆
    while (n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        heap.push(x);  // 将数字 x 加入小根堆
    }

    int res = 0;  // 用于存储最终的结果（最小代价）

    // 当堆中还有多于一个元素时，继续合并
    while (heap.size() > 1)
    {
        // 取出堆中的两个最小元素
        int x = heap.top(); heap.pop();  // 取出堆顶元素（最小值）并删除
        int y = heap.top(); heap.pop();  // 再次取出堆顶元素（次小值）并删除

        // 将这两个元素合并，并将合并的代价累加到结果中
        res += x + y;  // 合并代价为 x + y

        // 将合并后的新元素（x + y）重新加入堆中
        heap.push(x + y);
    }

    // 输出最终的最小代价
    cout << res << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

3
1 2 9
15

posted @ 2026-06-14 10:35 团爸讲算法阅读(13) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

题解：AcWing 148 合并果子

贪心

公告