题解：洛谷 P1661 扩散

【题目来源】

洛谷：P1661 扩散 - 洛谷

【题目描述】

一个点每过一个单位时间就会向四个方向扩散一个距离，如图。

两个点 \(a\) 、 \(b\) 连通，记作 \(e(a,b)\)，当且仅当 \(a,b\) 的扩散区域有公共部分。连通块的定义是块内的任意两个点 \(u,v\) 都必定存在路径 \(e(u,a_0),e(a_0,a_1),\cdots,e(a_k,v)\)。给定平面上的 \(n\) 个点，问最早什么时刻它们形成一个连通块。

【输入】

第一行一个数 \(n\)，以下 \(n\) 行，每行一个点坐标。

【输出】

一个数，表示最早的时刻所有点形成连通块。

【输入样例】

2
1 1
6 6

【输出样例】

5

【算法标签】

《洛谷 P1661 扩散》 #图论# #树形数据结构# #二分# #并查集# #生成树#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;

int n, p[N];
struct Node
{
    int x, y;
} a[N];

// 并查集查找操作
int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
    {
        p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
}

// 检查是否能在半径为x的范围内建立连接，使所有点连通
bool check(int x)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        p[i] = i;  // 初始化并查集
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i == j)
            {
                continue;
            }
            // 计算曼哈顿距离
            int dist = (abs(a[i].x - a[j].x) + abs(a[i].y - a[j].y));
            // 如果两个点之间的距离不超过2x，可以建立连接
            if (dist <= x * 2)
            {
                int a = find(i), b = find(j);
                if (a != b)
                {
                    p[a] = b;  // 合并连通块
                }
            }
        }
    }
    int root = find(1);
    // 检查是否所有点都在同一个连通块中
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (find(i) != root)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].x >> a[i].y;
    }

    // 二分查找最小的半径x
    int l = 0, r = 1e9;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
        {
            r = mid;  // 满足条件，尝试更小的半径
        }
        else
        {
            l = mid + 1;  // 不满足条件，需要更大的半径
        }
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

2
1 1
6 6
5