题解：洛谷 P3199 [HNOI2009] 最小圈

【题目来源】

洛谷：[P3199 HNOI2009] 最小圈 - 洛谷

【题目描述】

考虑带权有向图 $G=(V,E)$ 以及 $w:E\rightarrow \R$，每条边$ e=(i,j)$（$i\neq j$，$i, j\in V$）的权值定义为 $w_{i,j}$。设 $n=|V|$。

$c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)$（$c_i\in V$）是 $G$ 中的一个圈当且仅当 $(c_i,c_{i+1})$（$1\le i<k$）和 $(c_k,c_1)$ 都在 $E$ 中。称 $k$ 为圈 $c$ 的长度，同时记 $c_{k+1}=c_1$，并定义圈 $c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)$ 的平均值为

$\mu(c)= \frac 1 k \sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}$

即 $c$ 上所有边的权值的平均值。设 $\mu'(G)=\min_c\mu(c)$ 为 $G$ 中所有圈 $c$ 的平均值的最小值。

给定图 $G=(V,E)$ 以及 $w:E\rightarrow \R$，求出 $G$ 中所有圈 $c$ 的平均值的最小值 $\mu'(G)$。

【输入】

第一行两个正整数，分别为 $n$ 和 $m$，并用一个空格隔开。其中 $n=|V|$，$m=|E|$ 分别表示图中有 $n$ 个点和 $m$ 条边。

接下来 $m$ 行，每行三个数 $i,j,w_{i,j}$，表示有一条边 $(i,j)$ 且该边的权值为 $w_{i,j}$，注意边权可以是实数。输入数据保证图 $G=(V,E)$ 连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。

【输出】

一个实数 $\mu'(G)$，要求精确到小数点后 $8$ 位。

【输入样例】

【输出样例】

3.66666667

【算法标签】

《洛谷 P3199 最小圈》 #各省省选# #湖南# #2009#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3005;          // 最大节点数
const int M = 10005;         // 最大边数
int n, m;                     // n: 节点数, m: 边数
int vis[N];                   // 访问标记数组
int h[N], ne[M], to[M], tot;  // 链式前向星存储图
double d[N], w[M];            // d: 距离数组, w: 边权数组

// 链式前向星添加边
void add(int a, int b, int c)
{
    to[++tot] = b;            // 存储终点
    ne[tot] = h[a];           // 存储下一条边
    w[tot] = c;               // 存储边权
    h[a] = tot;               // 更新头指针
}

// SPFA算法检测负环（带偏移量x）
bool spfa(int u, double x)
{
    vis[u] = 1;               // 标记当前节点已访问
    for (int i = h[u]; i; i = ne[i])  // 遍历所有邻边
    {
        int v = to[i];
        if (d[v] > d[u] + w[i] - x)  // 松弛操作（带偏移量）
        {
            d[v] = d[u] + w[i] - x;
            if (vis[v] || spfa(v, x))  // 如果已访问或发现负环
                return true;
        }
    }
    vis[u] = 0;               // 回溯时取消标记
    return false;
}

// 检查是否存在负环（带偏移量x）
bool check(double x)
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));  // 初始化距离为无穷大
    memset(vis, 0, sizeof(vis)); // 清空访问标记
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 检查每个连通分量
        if (spfa(i, x))
            return true;
    
    return false;
}

// 二分查找最小平均权值
double find()
{
    double l = -1e7, r = 1e7;  // 初始化二分范围
    
    while (r - l > 1e-10)      // 精度控制
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))         // 如果存在负环
            r = mid;            // 尝试更小的平均值
        else
            l = mid;            // 尝试更大的平均值
    }
    
    return r;                  // 返回最小平均权值
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    // 输入边信息并建图
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        add(x, y, z);
    }
    
    // 输出最小平均权值（保留8位小数）
    printf("%.8f\n", find());
    
    return 0;
}

// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3005;          // 最大节点数
const int M = 10005;         // 最大边数
int n, m;                     // n: 节点数, m: 边数
int vis[N];                   // 访问标记数组
int h[N], e[M], ne[M], idx=1; // 链式前向星存储图（idx从1开始）
int to[M];                    // 边的终点数组（未使用）
double d[N], w[M];            // d: 距离数组, w: 边权数组

// 链式前向星添加边
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b;               // 存储终点
    w[idx] = c;               // 存储边权
    ne[idx] = h[a];           // 存储下一条边
    h[a] = idx++;             // 更新头指针
}

// SPFA算法检测负环（带偏移量x）
bool spfa(int u, double x)
{
    vis[u] = 1;               // 标记当前节点已访问
    for (int i = h[u]; i; i = ne[i])  // 遍历所有邻边
    {
        int j = e[i];
        if (d[j] > d[u] + w[i] - x)  // 松弛操作（带偏移量）
        {
            d[j] = d[u] + w[i] - x;
            if (vis[j] || spfa(j, x))  // 如果已访问或发现负环
                return true;
        }
    }
    vis[u] = 0;               // 回溯时取消标记
    return false;
}

// 检查是否存在负环（带偏移量x）
bool check(double x)
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));  // 初始化距离为无穷大
    memset(vis, 0, sizeof(vis)); // 清空访问标记
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 检查每个连通分量
        if (spfa(i, x))
            return true;
    
    return false;
}

// 二分查找最小平均权值
double find()
{
    double l = -1e7, r = 1e7;    // 初始化二分范围
    double eps = 1e-10;          // 精度控制
    
    while (r - l > eps)         // 精度控制循环
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))          // 如果存在负环
            r = mid;             // 尝试更小的平均值
        else
            l = mid;             // 尝试更大的平均值
    }
    
    return l;                   // 返回最小平均权值
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    // 输入边信息并建图
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    // 输出最小平均权值（保留8位小数）
    printf("%.8f\n", find());
    
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-03-14 22:33 团爸讲算法阅读(1) 评论(0) 收藏举报

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