题解：洛谷 P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

【题目来源】

洛谷：[P4377 USACO18OPEN] Talent Show G - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 要带着他的 \(n\) 头奶牛，方便起见编号为 \(1\ldots n\)，到农业展览会上去，参加每年的达牛秀！他的第 \(i\) 头奶牛重量为 \(w_i\)，才艺水平为 \(t_i\)，两者都是整数。

在到达时，Farmer John 就被今年达牛秀的新规则吓到了：

（一）参加比赛的一组奶牛必须总重量至少为 \(W\)（这是为了确保是强大的队伍在比赛，而不仅是强大的某头奶牛），并且。

（二）总才艺值与总重量的比值最大的一组获得胜利。

FJ 注意到他的所有奶牛的总重量不小于 \(W\)，所以他能够派出符合规则（一）的队伍。帮助他确定这样的队伍中能够达到的最佳的才艺与重量的比值。

【输入】

第一行是两个整数，分别表示牛的个数 \(n\) 和总重量限制 \(W\)。

第 \(2\) 到 \((n+1)\) 行，每行两个整数，第 \((i + 1)\) 行的整数表示第 \(i\) 头奶牛的重量 \(w_i\) 和才艺水平 \(t_i\)。

【输出】

请求出 Farmer 用一组总重量最少为 \(W\) 的奶牛最大可能达到的总才艺值与总重量的比值。

如果你的答案是 \(A\)，输出 \(1000A\) 向下取整的值，以使得输出是整数（当问题中的数不是一个整数的时候，向下取整操作在向下舍入到整数的时候去除所有小数部分）。

请注意当问题的答案恰好是整数 \(x\) 时，你的程序可能会由于浮点数精度误差问题最后得到一个 \(x-\epsilon\) 的答案，向下取整后变为 \(x-1\) 导致答案错误。这种情况下你可以在输出答案前给答案加上一个极小的值 \(x\gets x+10^{-k}\) 来避免该问题。

【输入样例】

3 15
20 21
10 11
30 31

【输出样例】

1066

【算法标签】

《洛谷 P4377 Talent Show》 #贪心# #背包# #分数规划# #USACO# #2018#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 255;           // 最大物品数量
int n, W;                     // n: 物品数量, W: 背包容量
int w[N], t[N];               // w: 物品重量, t: 物品价值
double f[1005];               // DP数组，f[j]表示容量为j时的最大价值

// 检查函数：判断是否存在解使得单位重量的价值至少为x
bool check(double x)
{
    // 初始化DP数组为负无穷
    for (int i = 1; i <= W; i++)
        f[i] = -1e9;
    
    // 0-1背包动态规划
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = W; j >= 0; j--)
        {
            int k = min(W, j + w[i]);  // 防止数组越界
            f[k] = max(f[k], f[j] + t[i] - x * w[i]);  // 状态转移方程
        }
    }
    
    return f[W] >= 0;  // 判断是否存在可行解
}

// 二分查找最大单位价值
double find()
{
    double l = 0, r = 1000;  // 二分查找范围
    
    // 精度控制循环
    while (r - l > 1e-5)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))      // 如果当前x可行
            l = mid;         // 尝试更大的x
        else
            r = mid;         // 尝试更小的x
    }
    
    return r;  // 返回最大值（注意这里是取整，所以返回r）
}

int main()
{
    // 输入物品数量和背包容量
    cin >> n >> W;
    
    // 输入每个物品的重量和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i] >> t[i];
    
    // 计算并输出结果（乘以1000后取整）
    int ans = int(find() * 1000);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 255;           // 最大物品数量
int n, W;                     // n: 物品数量, W: 背包容量
int w[N], t[N];               // w: 物品重量数组, t: 物品价值数组
double f[1005];               // DP数组，f[j]表示容量为j时的最大价值

// 检查函数：判断是否存在解使得单位重量的价值至少为x
bool check(double x)
{
    // 初始化DP数组为负无穷（表示不可达）
    for (int i = 1; i <= W; i++)
        f[i] = -1e9;
    
    // 0-1背包动态规划
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 逆序遍历背包容量
        for (int j = W; j >= 0; j--)
        {
            // 计算放入当前物品后的容量（防止越界）
            int k = min(W, j + w[i]);
            // 状态转移：比较放入和不放入当前物品的价值
            f[k] = max(f[k], f[j] + t[i] - x * w[i]);
        }
    }
    
    // 判断最终结果是否非负
    return f[W] >= 0;
}

// 二分查找函数：寻找最大单位价值
double find()
{
    double l = 0, r = 1000;   // 二分查找的初始范围
    double eps = 1e-5;        // 精度控制
    
    // 二分查找循环
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))        // 如果当前x可行
            l = mid;           // 尝试更大的x
        else
            r = mid;           // 尝试更小的x
    }
    
    return l;                 // 返回最大单位价值
}

int main()
{
    // 输入物品数量和背包容量
    cin >> n >> W;
    
    // 输入每个物品的重量和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i] >> t[i];
    
    // 计算并输出结果（乘以1000后取整）
    int ans = int(find() * 1000);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

3 15
20 21
10 11
30 31
1066