题解：AcWing 9 分组背包问题

【题目来源】

AcWing：9. 分组背包问题 - AcWing题库

【题目描述】

有 \(N\) 组物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 \(v_{i,j}\)，价值是 \(w_{i,j}\)，其中 \(i\) 是组号，\(j\) 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

【输入】

第一行有两个整数 \(N,V\)，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 \(N\) 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 \(S_i\)，表示第 \(i\) 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 \(S_i\) 行，每行有两个整数 \(v_{i,j},w_{i,j}\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 个物品组的第 \(j\) 个物品的体积和价值；

【输出】

输出一个整数，表示最大价值。

【输入样例】

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

【输出样例】

8

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 9 分组背包问题》 #背包问题# #DP#

【代码详解】

// 引入所有标准库头文件，方便使用各种标准库功能
#include <bits/stdc++.h>

// 使用标准命名空间，避免每次使用标准库函数时都需要加 std:: 前缀
using namespace std;

// 定义常量
const int N = 110;  // 定义物品最大分组数量为110

// 定义全局变量
int f[N][N];          // f[i][j]: 表示只从前i组物品中选，当前总体积不超过j时的最大价值
int v[N][N], w[N][N]; // v[i][j]: 第i组第j个物品的体积，w[i][j]: 第i组第j个物品的价值
int s[N];             // s[i]: 第i组物品的个数
int n, m;             // n: 物品组数，m: 背包容量

// 主函数，程序的入口点
int main()
{
    // 读取物品组数n和背包容量m
    cin >> n >> m;  // n: 物品组数，m: 背包容量

    // =============================
    // 输入部分：读取每组物品的信息
    // =============================
    // 外层循环：遍历所有物品组，从第1组到第n组
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 第i组
    {
        // 读取第i组物品的个数
        cin >> s[i];  // s[i]: 第i组物品的个数

        // 内层循环：遍历第i组中的每个物品，从第1个到第s[i]个
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
            // 读取第i组第j个物品的体积v[i][j]和价值w[i][j]
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];  // v[i][j]: 第i组第j个物品的体积，w[i][j]: 第i组第j个物品的价值
    }

    // =============================
    // 动态规划部分：计算只从前i组物品中选，总体积不超过j时的最大价值
    // 类似于0/1背包问题，但针对每组物品进行选择
    // =============================
    // 外层循环：遍历所有物品组，从第1组到第n组
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 类似0/1背包
    {
        // 中层循环：遍历所有可能的背包容量，从0到m
        for (int j = 0; j <= m; j++) 
        {
            // 内层循环：遍历当前组i中的每个物品，从第0个到第s[i]个（不选到选s[i]个）
            for (int k = 0; k <= s[i]; k++) 
            {
                // 检查当前选择第i组第k个物品是否使得总体积不超过当前背包容量j
                if (j >= v[i][k]) 
                {
                    // 更新当前状态f[i][j]为选择或不选择第i组第k个物品时的最大价值
                    // f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i][k]] + w[i][k])
                    // 解释：
                    // f[i][j] 表示只从前i组物品中选，总体积不超过j时的最大价值
                    // f[i-1][j - v[i][k]] 表示只从前i-1组物品中选，总体积不超过j - v[i][k]时的最大价值（即未选择第i组第k个物品时的状态）
                    // w[i][k] 表示选择第i组第k个物品时的价值
                    // 通过选择或不选择第i组第k个物品，取两者中的最大值来更新f[i][j]
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            }
        }
    }

    // =============================
    // 输出结果：在背包容量为m时，选择所有n组物品的最大价值
    // =============================
    // 输出f[n][m]，即只从前n组物品中选，总体积不超过m时的最大价值
    cout << f[n][m] << endl;

    // 程序正常结束，返回0
    return 0;
}

【运行结果】

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
8