题解：AcWing 4 多重背包问题 I

【题目来源】

AcWing：4. 多重背包问题 I - AcWing题库

【题目描述】

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

【输入】

第一行两个整数，\(N,V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(v_i,w_i,s_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。

【输出】

输出一个整数，表示最大价值。

【输入样例】

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

【输出样例】

10

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 4 多重背包问题I》 #背包问题# #DP#

【代码详解】

// 引入所有标准库头文件，方便使用各种标准库功能
#include <bits/stdc++.h>

// 使用标准命名空间，避免每次使用标准库函数时都需要加 std:: 前缀
using namespace std;

// 定义常量
const int N = 110;  // 定义物品种类和背包容量的最大值为110

// 定义全局变量
int n, m;               // n: 物品的种类数量，m: 背包的容量
int v[N], w[N], s[N];   // v[N]: 存储每个物品的体积，w[N]: 存储每个物品的价值，s[N]: 存储每个物品的数量
int f[N][N];            // f[i][j]: 表示前i种物品，背包容量为j时的最大价值

// 主函数，程序的入口点
int main()
{
    // 读取物品种类数量n和背包容量m
    cin >> n >> m;  // n: 物品种类数量，m: 背包容量

    // 循环读取每个物品的体积v[i]、价值w[i]和数量s[i]，并存储到对应的数组中
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];  // v[i]: 第i种物品的体积，w[i]: 第i种物品的价值，s[i]: 第i种物品的数量

    // =============================
    // 动态规划部分：计算前i种物品，背包容量为j时的最大价值
    // 使用三维动态规划思想，通过三层循环实现
    // =============================
    // 外层循环：遍历所有物品种类，从第1种到第n种
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        // 中层循环：遍历所有可能的背包容量，从0到m
        for (int j = 0; j <= m; j++) 
        {
            // 内层循环：遍历当前物品i的所有可能选取数量，从0到s[i]
            for (int k = 0; k <= s[i]; k++) 
            {
                // 检查当前选取数量k是否使得总重量不超过当前背包容量j
                if (j >= v[i] * k) 
                {
                    // 更新当前状态f[i][j]为选择或不选择第i种物品k个时的最大价值
                    // f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + w[i] * k)
                    // 解释：
                    // f[i][j] 表示前i种物品，背包容量为j时的最大价值
                    // f[i-1][j - v[i] * k] 表示前i-1种物品，背包容量为j - v[i] * k时的最大价值（即未选择当前物品i的k个时的状态）
                    // w[i] * k 表示选择当前物品i的k个时的总价值
                    // 通过选择或不选择当前物品i的k个，取两者中的最大值来更新f[i][j]
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
                }
            }
        }
    }

    // =============================
    // 输出结果：在背包容量为m时，选择n种物品的最大价值
    // =============================
    // 输出f[n][m]，即前n种物品，背包容量为m时的最大价值
    cout << f[n][m] << endl;

    // 程序正常结束，返回0
    return 0;
}

【运行结果】

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
10