题解：AcWing 894 拆分-Nim游戏

【题目来源】

AcWing：894. 拆分-Nim游戏 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆规模更小的石子（新堆规模可以为 \(0\)，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 堆石子的数量 \(a_i\)。

【输出】

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

【输入样例】

2
2 3

【输出样例】

Yes

【算法标签】

《AcWing 894 拆分-Nim游戏》 #数学知识# #博弈论# #SG函数#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_set>
using namespace std;

const int N = 105;  // 最大石子数
int f[N];          // 记忆化SG函数值，f[x]表示有x个石子的SG值

// 计算有x个石子的SG函数值
int sg(int x)
{
    // 如果已经计算过，直接返回记忆化的值
    if (f[x] != -1)
    {
        return f[x];
    }
  
    // 存储所有可能分裂后状态的SG值的异或和
    unordered_set<int> S;
  
    // 遍历所有可能的拆分方式
    // 将x个石子拆分成两堆：一堆i个，一堆j个
    // 其中 i + j < x（至少剩下1个石子用于拆分）
    for (int i = 0; i < x; i++)        // 第一堆的大小，0 ≤ i < x
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)   // 第二堆的大小，0 ≤ j ≤ i
        {
            // 拆分成两堆(i,j)后，形成两个独立的游戏
            // 组合游戏的SG值是两个独立游戏SG值的异或
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));
        }
    }
  
    // mex操作：找到最小的不在集合S中的非负整数
    for (int i = 0; ; i++)
    {
        if (!S.count(i))  // 如果i不在集合S中
        {
            return f[x] = i;  // 记忆化并返回SG值
        }
    }
}

int main()
{
    int n;  // 石子堆数
    cin >> n;
  
    // 初始化SG函数记忆化数组为-1（表示未计算）
    memset(f, -1, sizeof(f));
  
    int res = 0;  // 所有石子堆SG值的异或和
  
    // 输入每堆的石子数，并计算SG值的异或和
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x;  // 当前堆的石子数
        cin >> x;
        res ^= sg(x);  // 计算当前堆的SG值并异或
    }
  
    // 根据SG定理判断胜负：
    // 如果所有石子堆SG值的异或和不为0，先手必胜
    // 如果所有石子堆SG值的异或和为0，先手必败
    if (res)
    {
        cout << "Yes" << endl;  // 先手必胜
    }
    else
    {
        cout << "No" << endl;   // 先手必败
    }
  
    return 0;
}

【运行结果】

2
2 3
Yes