题解：AcWing 887 求组合数 III

【题目来源】

AcWing：887. 求组合数 III - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组询问，每组询问给定三个整数 \(a,b,p\)，其中 \(p\) 是质数，请你输出 \(C_a^b\ mod\ p\) 的值。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一组 \(a,b,p\)。

【输出】

共 \(n\) 行，每行输出一个询问的解。

【输入样例】

3
5 3 7
3 1 5
6 4 13

【输出样例】

3
3
2

【算法标签】

《AcWing 887 求组合数III》 #组合数学# #组合计数# #Lucas定理# #逆元# #快速幂# #费马小定理#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 使用long long类型防止溢出
int p;  // 模数，必须是质数

// 快速幂算法，计算 a^b mod p
int qmi(int a, int b)
{
    int mul = 1;  // 结果初始化为1
  
    while (b)  // 当指数b不为0时继续
    {
        if (b & 1)  // 如果b的最低位是1
        {
            mul = mul * a % p;  // 将当前a乘入结果
        }
        a = a * a % p;  // a自乘
        b >>= 1;        // b右移一位
    }
  
    return mul;  // 返回a^b mod p
}

// 直接计算组合数 C(a, b) mod p，要求 a,b < p
int C(int a, int b)
{
    if (b > a) return 0;  // 如果b>a，组合数为0
    if (b > a - b) b = a - b;  // 使用对称性 C(a,b)=C(a,a-b)，减少计算量
  
    int res = 1;  // 结果初始化为1
  
    // 计算 C(a, b) = a! / (b! * (a-b)!) = a*(a-1)*...*(a-b+1) / b!
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--)
    {
        // 分子：j = a, a-1, ..., a-b+1
        res = res * j % p;
      
        // 除以分母的第i项i
        // 费马小定理：i^{-1} ≡ i^{p-2} (mod p)
        res = res * qmi(i, p - 2) % p;
    }
  
    return res;  // 返回 C(a, b) mod p
}

// 卢卡斯定理递归计算组合数
int lucas(int a, int b)
{
    if (b == 0) return 1;  // 基本情况：C(a, 0) = 1
  
    // 如果a,b都小于p，直接计算
    if (a < p && b < p)
    {
        return C(a, b);
    }
  
    // 卢卡斯定理：C(a, b) ≡ C(a mod p, b mod p) * C(a/p, b/p) (mod p)
    return C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}

signed main()  // 因为使用了#define int long long，所以用signed main
{
    int n;  // 查询次数
    cin >> n;
  
    while (n--)  // 处理每个查询
    {
        int a, b;  // 输入C(a, b)
        cin >> a >> b >> p;  // 输入a, b和模数p
      
        // 使用卢卡斯定理计算组合数
        cout << lucas(a, b) << endl;
    }
  
    return 0;
}

【运行结果】

3
5 3 7 
3
3 1 5
3
6 4 13
2