题解：AcWing 884 高斯消元解异或线性方程组

【题目来源】

AcWing：884. 高斯消元解异或线性方程组 - AcWing题库

【题目描述】

输入一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的异或线性方程组。

方程组中的系数和常数为 \(0\) 或 \(1\)，每个未知数的取值也为 \(0\) 或 \(1\)。

求解这个方程组。

异或线性方程组示例如下：

M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
…
M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]

其中 ^ 表示异或(\(XOR\))，\(M[i][j]\) 表示第 \(i\) 个式子中 \(x[j]\) 的系数，\(B[i]\) 是第 \(i\) 个方程右端的常数，取值均为 \(0\) 或 \(1\)。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n+1\) 个整数 \(0\) 或 \(1\)，表示一个方程的 \(n\) 个系数以及等号右侧的常数。

【输出】

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个未知数的解。

如果给定线性方程组存在多组解，则输出 Multiple sets of solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

【输入样例】

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1

【输出样例】

1
0
0

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 884 高斯消元解异或线形方程组》 #线性空间# #高斯消元# #异或#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105; // 定义常量 N，表示矩阵的最大大小
int a[N][N]; // a 数组存储增广矩阵
int n; // 定义整数 n，表示矩阵的大小

// 高斯消元法求解异或方程组
int gauss()
{
    int r = 0; // r 表示当前处理的行
    for (int c = 0; c < n; c++) { // 遍历每一列
        int t = r; // t 表示当前列中第一个非零元素所在的行
        for (int i = r; i < n; i++) { // 遍历当前列的所有行
            if (a[i][c] == 1) { // 如果当前元素为 1
                t = i; // 更新 t
                break; // 跳出循环
            }
        }
        if (a[t][c] == 0) continue; // 如果当前列全为 0，跳过

        // 交换第 r 行和第 t 行
        for (int i = 0; i <= n; i++) swap(a[r][i], a[t][i]);

        // 用第 r 行消去下面所有行的第 c 列
        for (int i = r + 1; i < n; i++) {
            if (a[i][c] == 1) { // 如果当前行的第 c 列为 1
                for (int j = c; j <= n; j++) { // 遍历当前行的所有列
                    a[i][j] ^= a[r][j]; // 异或消元
                }
            }
        }
        r++; // 增加处理的行数
    }

    // 检查是否有矛盾
    if (r < n) {
        for (int i = r; i < n; i++) {
            if (a[i][n] == 1) return 2; // 如果有矛盾，返回 2（无解）
        }
        return 1; // 否则返回 1（多组解）
    }

    // 回代求解
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { // 从倒数第二行开始回代
        for (int j = i + 1; j < n; j++) { // 遍历当前行后面的所有列
            a[i][n] = a[i][n] ^ (a[i][j] * a[j][n]); // 异或消元
        }
    }
    return 0; // 返回 0（唯一解）
}

int main()
{
    cin >> n; // 输入矩阵的大小 n
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 输入增广矩阵
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    int t = gauss(); // 调用高斯消元法求解
    if (t == 0) { // 如果唯一解
        for (int i = 0; i < n; i++) cout << a[i][n] << endl; // 输出解
    } else if (t == 1) { // 如果多组解
        cout << "Multiple sets of solutions" << endl;
    } else { // 如果无解
        cout << "No solution" << endl;
    }

    return 0; // 程序结束
}

【运行结果】

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1
0
0