题解：AcWing 883 高斯消元解线性方程组

【题目来源】

AcWing：883. 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库

【题目描述】

输入一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 \(m\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组示例：

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n+1\) 个实数，表示一个方程的 \(n\) 个系数以及等号右侧的常数。

【输出】

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个未知数的解，结果保留两位小数。

注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

【输入样例】

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

【输出样例】

1.00
-2.00
3.00

【算法标签】

《AcWing 883 高斯消元解线性方程组》 #线性代数# #高斯消元#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;           // 最大方程数和变量数
const double eps = 1e-6;      // 浮点数精度阈值

int n;                       // 方程数/变量数
double a[N][N];              // 增广矩阵，a[i][n]存储常数项

/**
 * 高斯消元法求解线性方程组
 * @return 0:有唯一解, 1:有无穷多解, 2:无解
 */
int gauss()
{
    int c, r;                // c:当前列, r:当前行
    
    // 遍历每一列进行消元
    for (c = 0, r = 0; c < n; c++)
    {
        int t = r;           // 寻找当前列绝对值最大的行
        
        // 在剩余行中寻找当前列绝对值最大的元素
        for (int i = r; i < n; i++)
        {
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
            {
                t = i;
            }
        }
        
        // 如果当前列全为0，跳过该列
        if (fabs(a[t][c]) < eps)
        {
            continue;
        }
        
        // 将绝对值最大的行交换到当前行
        for (int i = c; i <= n; i++)
        {
            swap(a[t][i], a[r][i]);
        }
        
        // 将当前行的主元系数化为1
        for (int i = n; i >= c; i--)
        {
            a[r][i] /= a[r][c];
        }
        
        // 用当前行消去下面行的当前列
        for (int i = r + 1; i < n; i++)
        {
            // 如果该行当前列不为0，进行消元
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
            {
                for (int j = n; j >= c; j--)
                {
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
                }
            }
        }
        
        r++;  // 处理下一行
    }
    
    // 检查解的情况
    if (r < n)
    {
        // 检查是否存在矛盾方程（0 = 非0）
        for (int i = r; i < n; i++)
        {
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
            {
                return 2;  // 无解：存在矛盾方程
            }
        }
        return 1;  // 有无穷多解：有效方程数小于变量数
    }
    
    // 回代求解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
        {
            // 将已知的解代入当前方程
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
        }
    }
    
    return 0;  // 有唯一解
}

int main()
{
    // 输入方程数/变量数
    cin >> n;
    
    // 输入增广矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    
    // 调用高斯消元法求解
    int t = gauss();
    
    // 输出结果
    if (t == 0)
    {
        // 输出唯一解
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
        }
    }
    else if (t == 1)
    {
        // 输出无穷多解
        cout << "Infinite group solutions" << endl;
    }
    else
    {
        // 输出无解
        cout << "No solution" << endl;
    }
    
    return 0;
}

【运行结果】

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
1.00
-2.00
3.00