题解：AcWing 878 线性同余方程

【题目来源】

AcWing：878. 线性同余方程 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组数据 \(a_i,b_i,m_i\)，对于每组数求出一个 \(x_i\)，使其满足 \(a_i\times x_i \equiv b_i(mod\ m_i)\)，如果无解则输出 impossible。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一组数据 \(a_i,b_i,m_i\)。

【输出】

输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 \(x_i\)，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 \(int\) 范围之内。

【输入样例】

2
2 3 6
4 3 5

【输出样例】

impossible
-3

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 878 线性同余方程》 #数学知识# #同余# #扩展欧几里得算法#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long x, y; // 定义全局变量 x 和 y，用于存储扩展欧几里得算法的解

// 扩展欧几里得算法，用于求解 ax + by = gcd(a, b) 的一组整数解
int exgcd(int a, int b)
{
    if (b == 0) { // 如果 b 为 0，递归终止
        x = 1, y = 0; // 解为 x = 1, y = 0
        return a; // 返回 gcd(a, b)
    }
    int r = exgcd(b, a % b); // 递归求解
    long long x1 = x, y1 = y; // 保存递归结果
    // 更新 x 和 y 的值
    x = y1;
    y = x1 - a / b * y1;
    return r; // 返回 gcd(a, b)
}

int main()
{
    int n; // 定义整数 n，表示查询的次数
    cin >> n; // 输入查询的次数
    while (n--) { // 遍历每个查询
        int a, b, m; // 定义整数 a, b, m
        cin >> a >> b >> m; // 输入 a, b, m
        int r = exgcd(a, m); // 使用扩展欧几里得算法求解 gcd(a, m)
        if (b % r > 0) // 如果 b 不能被 gcd(a, m) 整除
            cout << "impossible" << endl; // 输出 "impossible"
        else
            // 计算方程的解并输出
            cout << (long long)b / r * x % m << endl;
    }
    return 0; // 程序结束
}

【运行结果】

2
2 3 6
impossible
4 3 5
-3