题解：AcWing 876 快速幂求逆元

【题目来源】

AcWing：876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

【题目描述】

给定 \(n\) 组 \(a_i,p_i\)，其中 \(p_i\) 是质数，求 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 \(0\sim p-1\) 之间的逆元。

【输入】

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个数组 \(a_i,p_i\)，数据保证 \(p_i\) 是质数。

【输出】

输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

【输入样例】

3
4 3
8 5
6 3

【输出样例】

1
2
impossible

【算法标签】

《Acwing 876 快速幂求逆元》 #数学知识# #逆元# #快速幂# #费马小定理#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;  // 定义长整型别名，防止乘法溢出

/**
 * 快速幂算法：计算 a^k mod p
 * @param a 底数
 * @param k 指数
 * @param p 模数
 * @return a^k mod p 的结果
 */
int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;        // 初始化结果为1（乘法单位元）
    
    // 使用二进制分解指数k
    while (k)
    {
        // 如果当前二进制位为1，将a的当前幂次乘入结果
        if (k & 1)
        {
            res = (LL)res * a % p;  // 使用长整型防止乘法溢出
        }
        
        // 将a平方，准备处理下一位
        a = (LL)a * a % p;
        
        // 右移一位，处理下一个二进制位
        k >>= 1;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;  // 测试用例数量
    scanf("%d", &n);
    
    // 处理每个测试用例
    while (n--)
    {
        int a, p;  // 输入参数：a为底数，p为模数
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        // 使用费马小定理计算a在模p下的乘法逆元
        // 逆元 = a^(p-2) mod p
        int res = qmi(a, p - 2, p);
        
        // 判断逆元是否存在：当且仅当a与p互质（即a不是p的倍数）
        if (a % p)
        {
            // 逆元存在，输出结果
            printf("%d\n", res);
        }
        else
        {
            // 逆元不存在（a是p的倍数）
            puts("impossible");
        }
    }
    
    return 0;
}

【运行结果】

3
4 3
1
8 5
2
6 3
impossible