题解：AcWing 858 Prim算法求最小生成树

【题目来源】

AcWing：858. Prim算法求最小生成树 - AcWing题库

【题目描述】

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V\) 表示图中点的集合，\(E\) 表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。

由 \(V\) 中的全部 \(n\) 个顶点和 \(E\) 中 \(n-1\) 条边构成的无向连通子图被称为 \(G\) 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 \(G\) 的最小生成树。

【输入】

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(u,v,w\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条权值为 \(w\) 的边。

【输出】

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

【输入样例】

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

【输出样例】

6

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 858 Prim算法求最小生成树》 #最小生成树# #Prim#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510;        // 最大节点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大值

int n;                     // 节点数量
int m;                     // 边数量
int g[N][N];              // 邻接矩阵存储图
int dist[N];              // 存储当前生成树到各节点的最小距离
bool st[N];               // 标记节点是否已加入最小生成树

/**
 * Prim算法：求解无向连通图的最小生成树
 * @return 最小生成树的总权重，INF表示图不连通
 */
int prim()
{
    // 初始化距离数组为无穷大
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
  
    int res = 0;           // 存储最小生成树的总权重
  
    // 循环n次，每次加入一个节点到生成树
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = -1;        // 用于记录当前距离最小的节点
      
        // 在所有未加入生成树的节点中，找到距离最小的节点
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
            {
                t = j;
            }
        }
      
        // 如果不是第一个节点（i>0）且最小距离为无穷大，说明图不连通
        if (i && dist[t] == INF)
        {
            return INF;    // 图不连通，无法生成最小生成树
        }
      
        // 如果不是第一个节点，将当前边的权重加入总结果
        if (i)
        {
            res += dist[t];
        }
      
        // 用新加入的节点t更新其他节点到生成树的最小距离
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        }
      
        // 标记节点t已加入最小生成树
        st[t] = true;
    }
  
    return res;
}

int main()
{
    // 输入节点数和边数
    scanf("%d%d", &n, &m);
  
    // 初始化邻接矩阵为无穷大（表示不可达）
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));
  
    // 输入所有边的信息
    while (m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
      
        // 无向图，双向设置权重，并处理重边（取最小值）
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
  
    // 调用Prim算法计算最小生成树
    int t = prim();
  
    // 输出结果
    if (t == INF)
    {
        // 图不连通，无法生成最小生成树
        puts("impossible");
    }
    else
    {
        // 输出最小生成树的总权重
        printf("%d\n", t);
    }
  
    return 0;
}

【运行结果】

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
6