题解：AcWing 843 n-皇后问题

【题目来源】

AcWing：843. n-皇后问题 - AcWing题库

【题目描述】

\(n\)-皇后问题是指将 \(n\) 个皇后放在 \(n\times n\) 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 \(n\)，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

【输入】

共一行，包含整数 \(n\)。

【输出】

每个解决方案占 \(n\) 行，每行输出一个长度为 \(n\) 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

【输入样例】

4

【输出样例】

.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 843 n-皇后问题》 #DFS# #剪枝#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20;  // 定义棋盘最大尺寸

int n;            // 棋盘大小（n×n）
char g[N][N];     // 棋盘布局
bool col[N];      // 标记列是否被占用
bool dg[N];       // 标记正对角线是否被占用（左上到右下）
bool udg[N];      // 标记反对角线是否被占用（右上到左下）

// 深度优先搜索放置皇后
void dfs(int u)  // u: 当前处理的行号
{
    // 终止条件：所有行都已放置皇后
    if (u == n) 
    {
        // 打印当前棋盘布局
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            puts(g[i]);
        puts("");  // 空行分隔不同解
        return;
    }

    // 尝试在当前行的每一列放置皇后
    for (int i = 0; i < n; i++) 
    {
        // 检查当前位置是否安全（列、对角线无冲突）
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - u + i]) 
        {
            g[u][i] = 'Q';  // 放置皇后
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = true;  // 标记占用
          
            dfs(u + 1);  // 递归处理下一行
          
            // 回溯：恢复状态
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - u + i] = false;
            g[u][i] = '.';
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;  // 输入棋盘大小
  
    // 初始化棋盘（全部置为'.'）
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) 
            g[i][j] = '.';
  
    dfs(0);  // 从第0行开始放置皇后
  
    return 0;
}

// 更为原始的算法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20;  // 定义棋盘最大尺寸

int n;            // 棋盘大小（n×n）
char g[N][N];     // 棋盘布局
bool row[N];      // 标记行是否被占用
bool col[N];      // 标记列是否被占用
bool dg[N];       // 标记正对角线是否被占用（左上到右下）
bool udg[N];      // 标记反对角线是否被占用（右上到左下）

// 深度优先搜索放置皇后
void dfs(int x, int y, int s)  // x: 当前行, y: 当前列, s: 已放置皇后数
{
    // 列越界处理：换行
    if (y == n) 
    {
        y = 0;
        x++;
    }
  
    // 终止条件：处理完所有格子
    if (x == n) 
    {
        // 如果放置了n个皇后，输出解
        if (s == n) 
        {
            for (int i = 0; i < n; i++) 
                puts(g[i]);
            puts("");  // 空行分隔不同解
        }
        return;
    }
  
    // 情况1：当前位置不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);
  
    // 情况2：当前位置放皇后（需满足条件）
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]) 
    {
        g[x][y] = 'Q';  // 放置皇后
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;  // 标记占用
      
        dfs(x, y + 1, s + 1);  // 递归处理下一个位置
      
        // 回溯：恢复状态
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    }
}

int main()
{
    cin >> n;  // 输入棋盘大小
  
    // 初始化棋盘（全部置为'.'）
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) 
            g[i][j] = '.';
  
    dfs(0, 0, 0);  // 从(0,0)位置开始搜索
  
    return 0;
}

【运行结果】

4
.Q..
...Q
Q...
..Q.

..Q.
Q...
...Q
.Q..