题解：洛谷 2737 麦香牛块

【题目来源】

洛谷：[P2737 USACO4.1] 麦香牛块 Beef McNuggets - 洛谷

【题目描述】

农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装 \(3\) 块、\(6\) 块或者 \(10\) 块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买 \(1\)、\(2\)、\(4\)、\(5\)、\(7\)、\(8\)、\(11\)、\(14\) 或者 \(17\) 块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数 \(N\ (1 \le N \le 10)\) 和 \(N\) 个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数 \(b_i\ (1 \le b_i \le 256)\)，输出顾客不能用上述包装盒（每种盒子数量无限）买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出 \(0\)。不能买到的最大块数（如果它存在）不超过 \(2\times 10^9\)。

【输入】

第 \(1\) 行：包装盒的种类数 \(N\)。

第 \(2\) 行到 \(N+1\) 行：每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数。

【输出】

输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或 \(0\)（如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限）。

【输入样例】

3
3
6
10

【输出样例】

17

【算法标签】

《洛谷 P2737 麦香牛块》 #数学# #USACO#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 15;           // 最大硬币数量
const int MAX_VAL = 65025;  // 最大可能金额（256 * 256 - 256 - 256）

int n;                      // 硬币数量
int a[N];                   // 存储硬币面值
int dp[MAX_VAL + 5];        // 动态规划数组，dp[j]表示能否凑出金额j
int ans;                    // 存储最大无法凑出的金额

int main()
{
    // 输入硬币数量
    cin >> n;
    
    // 输入每个硬币的面值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    
    // 初始化动态规划数组
    dp[0] = 1;  // 金额0总是可以凑出（不选任何硬币）
    
    // 完全背包：计算所有可凑出的金额
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 遍历所有可能的金额
        for (int j = a[i]; j <= MAX_VAL; j++)
        {
            // 如果j-a[i]可以凑出，那么j也可以凑出
            dp[j] |= dp[j - a[i]];
        }
    }
    
    // 从大到小查找第一个无法凑出的金额
    ans = 0;  // 初始化为0（表示所有金额都能凑出）
    for (int i = MAX_VAL; i >= 1; i--)
    {
        // 如果当前金额无法凑出
        if (dp[i] == 0)
        {
            ans = i;  // 记录最大无法凑出的金额
            break;    // 找到后立即退出循环
        }
    }
    
    // 如果所有金额都能凑出（ans >= MAX_VAL 表示没找到无法凑出的金额）
    if (ans == MAX_VAL)
    {
        ans = 0;  // 设置结果为0
    }
    
    // 输出最大无法凑出的金额
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

3
3
6
10
17