题解：AcWing 3 完全背包问题

【题目来源】

AcWing：3. 完全背包问题 - AcWing题库

【题目描述】

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 \(i\) 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

【输入】

第一行两个整数，\(N,V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行两个整数 \(v_i,w_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积和价值。

【输出】

输出一个整数，表示最大价值。

【输入样例】

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

【输出样例】

10

【算法标签】

《AcWing 3 完全背包问题》 #背包问题# #DP#

【代码详解】

/*
1. 01背包: f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w);
2. 完全背包: f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v]+w);
*/
// 朴素版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1005;  // 最大物品数和背包容量
int n, m;            // n: 物品数量, m: 背包容量
int v[N], w[N];      // v[i]: 第i件物品的重量, w[i]: 第i件物品的价值
int f[N][N];         // f[i][j]: 前i件物品，总重量不超过j的最大价值

int main()
{
    // 输入物品数量和背包容量
    cin >> n >> m;
  
    // 输入每件物品的重量和价值
    // 注意：物品编号从1开始，方便理解
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
  
    // 动态规划填表
    // 外层循环：遍历每件物品
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 内层循环：遍历背包容量
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            // 1. 不选第i件物品
            f[i][j] = f[i - 1][j];
          
            // 2. 如果可以选第i件物品（当前容量j ≥ 物品i的重量v[i]）
            if (j >= v[i])
            {
                // 选择第i件物品
                // 注意：这里是f[i][j-v[i]]，不是f[i-1][j-v[i]]
                // 因为完全背包中，每件物品可以选无限次
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
  
    // 输出结果：前n件物品，背包容量为m时的最大价值
    cout << f[n][m] << endl;
  
    return 0;
}

// 一维数组版
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1005;  // 最大物品数和背包容量
int n, m;            // n: 物品数量, m: 背包容量
int v[N], w[N];      // v[i]: 第i件物品的重量, w[i]: 第i件物品的价值
int f[N];            // f[j]: 容量为j时的最大价值（优化为一维数组）

int main()
{
    // 输入物品数量和背包容量
    cin >> n >> m;
  
    // 输入每件物品的重量和价值
    // 注意：物品编号从1开始，方便理解
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
  
    // 动态规划填表
    // 外层循环：遍历每件物品
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 内层循环：正向遍历背包容量
        // 必须从小到大遍历，允许每个物品被选多次
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
        {
            // 状态转移方程：
            // 1. 不选第i件物品：f[j]保持不变
            // 2. 选第i件物品：f[j - v[i]] + w[i]
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
  
    // 输出结果：容量为m时的最大价值
    cout << f[m] << endl;
  
    return 0;
}

【运行结果】

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
10