题解：洛谷 P3380 【模板】树套树
【题目来源】
洛谷：P3380 【模板】树套树 - 洛谷 (luogu.com.cn)
【题目描述】
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列，其中需要提供以下操作：
- 查询 \(k\) 在区间内的排名；
- 查询区间内排名为 \(k\) 的值；
- 修改某一位置上的数值；
- 查询 \(k\) 在区间内的前驱（前驱定义为严格小于 \(x\)，且最大的数，若不存在输出
-2147483647）； - 查询 \(k\) 在区间内的后继（后继定义为严格大于 \(x\)，且最小的数，若不存在输出
2147483647）。
对于一组元素，一个数的排名被定义为严格比它小的元素个数加一，而排名为 \(k\) 的数被定义为“将元素从小到大排序后排在第 \(k\) 位的元素值”。
【输入】
第一行两个数 \(n,m\)，表示长度为 \(n\) 的有序序列和 \(m\) 个操作。
第二行有 \(n\) 个数，表示有序序列。
下面有 \(m\) 行，\(opt\) 表示操作标号。
若 \(opt=1\)，则为操作 \(1\)，之后有三个数 \(l~r~k\)，表示查询 \(k\) 在区间 \([l,r]\) 的排名。
若 \(opt=2\)，则为操作 \(2\)，之后有三个数 \(l~r~k\)，表示查询区间 \([l,r]\) 内排名为 \(k\) 的数。
若 \(opt=3\)，则为操作 \(3\)，之后有两个数 \(pos~k\)，表示将 \(pos\) 位置的数修改为 \(k\)。
若 \(opt=4\)，则为操作 \(4\)，之后有三个数 \(l~r~k\)，表示查询区间 \([l,r]\) 内 \(k\) 的前驱。
若 \(opt=5\)，则为操作 \(5\)，之后有三个数 \(l~r~k\)，表示查询区间 \([l,r]\) 内 \(k\) 的后继。
【输出】
对于操作 \(1,2,4,5\)，各输出一行，表示查询结果。
【输入样例】
9 6
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
3 4 10
2 1 4 3
1 2 5 9
4 3 9 5
5 2 8 5
【输出样例】
2
4
3
4
9
【算法标签】
《洛谷 P3380 树套树》 #线段树# #平衡树# #树套树#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 2147483647
#define ls(x) tr[x].s[0] // 左儿子
#define rs(x) tr[x].s[1] // 右儿子
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
int root[N * 4]; // 记录每个线段树节点对应的splay树的根
// Splay树节点结构
struct Node
{
int s[2], p; // 左右儿子，父节点
int v, siz; // 节点值，子树大小
void init(int p1, int v1)
{
p = p1;
v = v1;
siz = 1;
}
}tr[N * 40]; // 每个线段树节点对应一个Splay树
int n, m, w[N], idx; // n: 数组长度，m: 操作数，w: 原始数组，idx: 节点计数器
// 更新节点信息
inline void pushup(int x)
{
tr[x].siz = tr[ls(x)].siz + tr[rs(x)].siz + 1;
}
// Splay旋转操作
inline void rotate(int x)
{
int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
int k = tr[y].s[1] == x;
tr[z].s[tr[z].s[1] == y] = x, tr[x].p = z;
tr[y].s[k] = tr[x].s[k ^ 1], tr[tr[x].s[k ^ 1]].p = y;
tr[x].s[k ^ 1] = y, tr[y].p = x;
pushup(y), pushup(x);
}
// Splay操作，将x旋转到k的子节点
inline void splay(int &root, int x, int k)
{
while (tr[x].p != k)
{
int y = tr[x].p, z = tr[y].p;
if (z != k)
{
if ((rs(y) == x) ^ (rs(z) == y))
{
rotate(x);
}
else
{
rotate(y);
}
}
rotate(x);
}
if (!k)
{
root = x;
}
}
// 向Splay树中插入值v
inline void insert(int &root, int v)
{
int u = root, p = 0;
while (u)
{
p = u, u = tr[u].s[v > tr[u].v];
}
u = ++idx;
tr[p].s[v > tr[p].v] = u;
tr[u].init(p, v);
splay(root, u, 0);
}
// 构建线段树，每个节点维护一个Splay树
void build(int u, int l, int r)
{
insert(root[u], -INF), insert(root[u], INF); // 插入哨兵节点
for (int i = l; i <= r; i++)
{
insert(root[u], w[i]); // 插入区间内的所有值
}
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
build(lc, l, mid);
build(rc, mid + 1, r);
}
// 在Splay树中查询小于v的数的个数
inline int getrank(int root, int v)
{
int u = root, res = 0;
while (u)
{
if (tr[u].v < v)
{
res += tr[ls(u)].siz + 1, u = rs(u);
}
else
{
u = ls(u);
}
}
return res;
}
// 查询区间[l,r]中比v小的数的个数
int queryrank(int u, int l, int r, int x, int y, int v)
{
if (x <= l && r <= y)
{
return getrank(root[u], v) - 1; // 减去哨兵
}
int mid = l + r >> 1, res = 0;
if (x <= mid)
{
res += queryrank(lc, l, mid, x, y, v);
}
if (y > mid)
{
res += queryrank(rc, mid + 1, r, x, y, v);
}
return res;
}
// 查询区间[l,r]中第k小的数
int queryval(int u, int x, int y, int k)
{
int l = 0, r = 1e8, ans; // 二分答案
while (l <= r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (queryrank(1, 1, n, x, y, mid) + 1 <= k)
{
l = mid + 1, ans = mid;
}
else
{
r = mid - 1;
}
}
return ans;
}
// 从Splay树中删除值v
inline void del(int &root, int v)
{
int u = root;
while (u)
{
if (tr[u].v == v) break;
if (tr[u].v < v)
{
u = rs(u);
}
else
{
u = ls(u);
}
}
splay(root, u, 0);
int l = ls(u), r = rs(u);
while (rs(l))
{
l = rs(l);
}
while (ls(r))
{
r = ls(r);
}
splay(root, l, 0);
splay(root, r, l);
ls(r) = 0;
splay(root, r, 0);
}
// 修改位置pos的值为v
void change(int u, int l, int r, int pos, int v)
{
del(root[u], w[pos]); // 删除旧值
insert(root[u], v); // 插入新值
if (l == r) return;
int mid = l + r >> 1;
if (pos <= mid)
{
change(lc, l, mid, pos, v);
}
else
{
change(rc, mid + 1, r, pos, v);
}
}
// 在Splay树中查询小于v的最大值
inline int getpre(int root, int v)
{
int u = root, res = -INF;
while (u)
{
if (tr[u].v < v)
{
res = tr[u].v, u = rs(u);
}
else
{
u = ls(u);
}
}
return res;
}
// 查询区间[l,r]中比v小的最大值
int querypre(int u, int l, int r, int x, int y, int v)
{
if (x <= l && r <= y)
{
return getpre(root[u], v);
}
int mid = l + r >> 1, res = -INF;
if (x <= mid)
{
res = max(res, querypre(lc, l, mid, x, y, v));
}
if (y > mid)
{
res = max(res, querypre(rc, mid + 1, r, x, y, v));
}
return res;
}
// 在Splay树中查询大于v的最小值
inline int getnxt(int root, int v)
{
int u = root, res = INF;
while (u)
{
if (tr[u].v > v)
{
res = tr[u].v, u = ls(u);
}
else
{
u = rs(u);
}
}
return res;
}
// 查询区间[l,r]中比v大的最小值
int querynxt(int u, int l, int r, int x, int y, int v)
{
if (x <= l && r <= y)
{
return getnxt(root[u], v);
}
int mid = l + r >> 1, res = INF;
if (x <= mid)
{
res = min(res, querynxt(lc, l, mid, x, y, v));
}
if (y > mid)
{
res = min(res, querynxt(rc, mid + 1, r, x, y, v));
}
return res;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> w[i];
}
build(1, 1, n); // 建树
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int op, l, r, k, pos;
cin >> op;
if (op == 1) // 查询区间[l,r]中k的排名
{
cin >> l >> r >> k;
cout << queryrank(1, 1, n, l, r, k) + 1 << endl;
}
else if (op == 2) // 查询区间[l,r]中第k小的数
{
cin >> l >> r >> k;
cout << queryval(1, l, r, k) << endl;
}
else if (op == 3) // 修改位置pos的值为k
{
cin >> pos >> k;
change(1, 1, n, pos, k);
w[pos] = k;
}
else if (op == 4) // 查询区间[l,r]中比k小的最大值
{
cin >> l >> r >> k;
cout << querypre(1, 1, n, l, r, k) << endl;
}
else // 查询区间[l,r]中比k大的最小值
{
cin >> l >> r >> k;
cout << querynxt(1, 1, n, l, r, k) << endl;
}
}
return 0;
}
【运行结果】
9 6
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
2
3 4 10
2 1 4 3
4
1 2 5 9
3
4 3 9 5
4
5 2 8 5
9
浙公网安备 33010602011771号