题解：洛谷 P3834 【模板】可持久化线段树 2

【题目来源】

洛谷：P3834 【模板】可持久化线段树 2 - 洛谷 (luogu.com.cn)

【题目描述】

如题，给定 \(n\) 个整数构成的序列 \(a\)，将对于指定的闭区间 \([l, r]\) 查询其区间内的第 \(k\) 小值。

【输入】

第一行包含两个整数，分别表示序列的长度 \(n\) 和查询的个数 \(m\)。
第二行包含 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数表示序列的第 \(i\) 个元素 \(a_i\)。
接下来 \(m\) 行每行包含三个整数 $ l, r, k$ , 表示查询区间 \([l, r]\) 内的第 \(k\) 小值。

【输出】

对于每次询问，输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

5 5
25957 6405 15770 26287 26465 
2 2 1
3 4 1
4 5 1
1 2 2
4 4 1

【输出样例】

6405
15770
26287
25957
26287

【算法标签】

《洛谷 P3834 可持久化线段树2》 #线段树# #离散化# #可持久化线段树# #可持久化# #O2优化#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 200005;  // 数组大小常量
#define N 200005  // 定义宏，同上面
#define lc(x) tr[x].ch[0]  // 左儿子宏定义
#define rc(x) tr[x].ch[1]  // 右儿子宏定义

int n, m, a[N];  // n: 数组长度，m: 查询次数，a: 原数组
vector<int> v;  // 离散化后的有序数组

// 主席树节点结构
struct node
{
    int ch[2];  // 左右儿子编号
    int s;  // 节点值域中有多少个数
}tr[N * 22];  // 每个版本开logN个节点

int root[N], idx;  // root: 每个前缀的根节点，idx: 节点计数器

// 构建初始空树（实际上可以不用，但这里保留了）
void build(int &x, int l, int r)
{
    x = ++idx;
    if (l == r) return;
    int m = l + r >> 1;
    build(lc(x), l, m);
    build(rc(x), m + 1, r);
}

// 插入操作，建立新版本
void insert(int x, int &y, int l, int r, int v)
{
    y = ++idx;  // 创建新节点
    tr[y] = tr[x];  // 复制旧节点信息
    tr[y].s++;  // 节点计数加1
    if (l == r) return;  // 叶子节点
    int m = l + r >> 1;  // 双指针同步搜索
    if (v <= m)  // 值在左子树
    {
        insert(lc(x), lc(y), l, m, v);
    }
    else  // 值在右子树
    {
        insert(rc(x), rc(y), m + 1, r, v);
    }
}

// 查询区间第k小
int query(int x, int y, int l, int r, int k)
{
    if (l == r) return l;  // 找到第k小的数
    int m = l + r >> 1;  // 双指针同步搜索
    int s = tr[lc(y)].s - tr[lc(x)].s;  // 左子树的数字个数
    if (k <= s)  // 第k小的数在左子树
    {
        return query(lc(x), lc(y), l, m, k);
    }
    else  // 第k小的数在右子树
    {
        return query(rc(x), rc(y), m + 1, r, k - s);
    }
}

// 获取值x在离散化数组中的位置（从1开始）
int getid(int x)
{
    return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin() + 1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;  // 读入数组长度和查询次数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        v.push_back(a[i]);  // 保存原始值用于离散化
    }
  
    // 离散化处理
    sort(v.begin(), v.end());  // 排序
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());  // 去重
    int vn = v.size();  // 离散化后的数值范围大小
  
    // 构建主席树
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        insert(root[i - 1], root[i], 1, vn, getid(a[i]));
    }
  
    // 处理查询
    while (m--)
    {
        int l, r, k;
        cin >> l >> r >> k;
        int id = query(root[l - 1], root[r], 1, vn, k) - 1;  // 查询第k小
        cout << v[id] << endl;  // 输出离散化前的原始值
    }
  
    return 0;
}

【运行结果】

5 5
25957 6405 15770 26287 26465
2 2 1
6405
3 4 1
15770
4 5 1
26287
1 2 2
25957
4 4 1
26287