题解：洛谷 P1962 斐波那契数列

【题目来源】

洛谷：P1962 斐波那契数列 - 洛谷

【题目描述】

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

\[F_n = \left\{\begin{aligned} 1 \space (n \le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2} \space (n\ge 3) \end{aligned}\right. \]

请你求出 \(F_n \bmod 10^9 + 7\) 的值。

【输入】

一行一个正整数 \(n\)。

【输出】

输出一行一个整数表示答案。

【输入样例】

5

【输出样例】

5

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P1962 斐波那契数列》 #数学# #递推# #矩阵运算# #矩阵乘法#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
int n, ans;

// 定义矩阵结构体
struct Mat
{
    int num[5][5];  // 矩阵元素，5x5大小但实际只用到2x2
}A, B;  // A: 转移矩阵，B: 结果矩阵

// 矩阵乘法函数
Mat mul(Mat x, Mat y)
{
    Mat res = {};  // 初始化结果矩阵为0
    for (int i=1; i<=2; i++)
    {
        for (int j=1; j<=2; j++)
        {
            for (int k=1; k<=2; k++)
            {
                res.num[i][j] += x.num[i][k] * y.num[k][j];  // 矩阵乘法
                res.num[i][j] %= mod;  // 取模防止溢出
            }
        }
    }
    return res;  // 返回结果矩阵
}

// 矩阵快速幂
Mat quick(Mat x, int y)
{
    Mat res = {};  // 初始化结果矩阵
    res.num[1][1] = res.num[2][2] = 1;  // 初始化为单位矩阵
  
    Mat base = x;  // 基础矩阵
    while (y)  // 快速幂计算
    {
        if (y%2)  // 如果指数是奇数
        {
            res = mul(res, base);  // 乘以当前base
        }
        base = mul(base, base);  // base自乘
        y /= 2;  // 指数减半
    }
    return res;  // 返回结果矩阵
}

signed main()  // 因为使用#define int long long，所以用signed main
{
    cin >> n;  // 输入n
    if (n<=2)  // 前两项特殊情况
    {
        cout << 1 << endl;  // 前两项都是1
        return 0;
    }
  
    // 初始化转移矩阵A
    // 对于斐波那契数列的转移矩阵是：
    // [F(n)  F(n-1)] = [F(n-1)  F(n-2)] * [1 1]
    //                                       [1 0]
    A.num[1][1] = 1;  // 第一行第一列
    A.num[1][2] = 1;  // 第一行第二列
    A.num[2][1] = 1;  // 第二行第一列
    A.num[2][2] = 0;  // 第二行第二列（默认是0）
  
    B = quick(A, n-2);  // 计算A的(n-2)次幂，得到转移矩阵
  
    // 计算第n项斐波那契数
    // 根据公式：[F(n)  F(n-1)] = [F(2)  F(1)] * A^(n-2)
    // 其中F(1)=1, F(2)=1
    ans = (B.num[1][1] + B.num[2][1]) % mod;  // 计算F(n)
  
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

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