题解：洛谷 P1654 OSU!

【题目来源】

洛谷：P1654 OSU! - 洛谷

【题目描述】

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。

我们可以把 osu 的规则简化与改编成以下的样子:

一共有 \(n\) 次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应 \(1\)，失败对应 \(0\)，\(n\) 次操作对应为 \(1\) 个长度为 \(n\) 的 01 串。在这个串中连续的 \(X\) 个 \(1\) 可以贡献 \(X^3\) 的分数，这 \(x\) 个 \(1\) 不能被其他连续的 \(1\) 所包含（也就是极长的一串 \(1\)，具体见样例解释）

现在给出 \(n\)，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留 \(1\) 位小数。

【输入】

第一行有一个正整数 \(n\)，表示操作个数。接下去 \(n\) 行每行有一个 \([0,1]\) 之间的实数，表示每个操作的成功率。

【输出】

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留 \(1\) 位小数。

【输入样例】

3 
0.5 
0.5 
0.5

【输出样例】

6.0

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P1654 OSU!》 #动态规划DP#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n;
double x1[N], x2[N], f[N], p;

int main()
{
    cin >> n;  // 输入序列长度n
  
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> p;  // 输入第i个位置成功的概率p
      
        // 计算x1[i]: 以i结尾的连续成功长度的期望
        // 公式推导：
        // 如果i位置成功(概率p): 连续成功长度 = 以i-1结尾的连续成功长度 + 1
        // 如果i位置失败(概率1-p): 连续成功长度 = 0
        // 所以: x1[i] = p * (x1[i-1] + 1) + (1-p) * 0 = (x1[i-1]+1) * p
        x1[i] = (x1[i-1]+1) * p;
      
        // 计算x2[i]: 以i结尾的连续成功长度平方的期望
        // 公式推导：
        // 设L是i-1位置结尾的连续成功长度
        // 如果i位置成功: 新的连续长度 = L+1, 平方 = (L+1)^2 = L^2 + 2L + 1
        // 如果i位置失败: 新的连续长度 = 0, 平方 = 0
        // 所以: x2[i] = p * (x2[i-1] + 2*x1[i-1] + 1) + (1-p) * 0
        x2[i] = (x2[i-1] + 2*x1[i-1] + 1) * p;
      
        // 计算f[i]: 到位置i为止的所有连续成功长度三次方的期望和
        // 公式推导：
        // 在位置i新增的连续三次方和的期望 = p * (x2[i-1] + 3*x1[i-1] + 1)的期望
        // 因为(L+1)^3 = L^3 + 3L^2 + 3L + 1
        // 新增的期望 = p * (期望[L^3] + 3*期望[L^2] + 3*期望[L] + 1)
        //           = p * (0 + 3*x2[i-1] + 3*x1[i-1] + 1)
        // 加上之前的累计和f[i-1]
        f[i] = f[i-1] + (3*x2[i-1] + 3*x1[i-1] + 1) * p;
    }
  
    printf("%.1lf", f[n]);  // 输出最终结果，保留1位小数
    return 0;
}

【运行结果】

3 
0.5 
0.5 
0.5
6.0