题解：洛谷 P4071 [SDOI2016] 排列计数

【题目来源】

洛谷：P4071 [SDOI2016] 排列计数 - 洛谷

【题目描述】

求有多少种 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(a\)，满足序列恰好有 \(m\) 个位置 \(i\)，使得 \(a_i = i\)。

答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

【输入】

本题单测试点内有多组数据。

输入的第一行是一个整数 \(T\)，代表测试数据的组数。

以下 \(T\) 行，每行描述一组测试数据。

对于每组测试数据，每行输入两个整数，依次代表 \(n\) 和 \(m\)。

【输出】

共输出 \(T\) 行，对于每组测试数据，输出一行一个整数代表答案。

【输入样例】

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

【输出样例】

0
1
20
578028887
60695423

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P4071 排列计数》 #递推# #枚举# #线性递推# #逆元# #各省省选# #2016# #山东#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000005, mod = 1e9+7;
int t, n, m;
int fact[N], inv[N], f[N];  // fact:阶乘, inv:阶乘逆元, f:错排数

// 快速幂函数
int qmi(int a, int b)
{
    int mul = 1;
    while (b)
    {
        if (b&1) mul = mul * a % mod;  // 如果b是奇数，乘上当前的a
        a = a * a % mod;  // a自乘
        b >>= 1;  // b右移一位
    }
    return mul;
}

signed main()
{
    cin >> t;  // 读入测试用例数量
  
    // 初始化阶乘数组
    fact[0] = fact[1] = 1;  // 0! = 1, 1! = 1
    fact[2] = 2;  // 2! = 2
  
    // 初始化阶乘的逆元数组
    inv[0] = inv[1] = 1;  // 0!和1!的逆元都是1
    inv[2] = qmi(2, mod-2);  // 计算2!的逆元
  
    // 初始化错排数数组
    f[0] = 1;  // 0个元素的错排数为1（空排列）
    f[1] = 0;  // 1个元素的错排数为0
    f[2] = 1;  // 2个元素的错排数为1
  
    // 预处理阶乘、逆元和错排数
    for (int i=3; i<=1000000; i++)
    {
        fact[i] = fact[i-1] * i % mod;  // 计算i! = (i-1)! * i
        inv[i] = qmi(fact[i], mod-2);  // 计算i!的逆元，使用费马小定理
        f[i] = (i-1) * (f[i-1] + f[i-2]) % mod;  // 错排数递推公式
    }
  
    while (t--)  // 处理每个测试用例
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);  // 读入n和m
      
        int ans;
        // 计算组合数C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)
        ans = fact[n] * inv[m] % mod;  // n! * (m!)^-1
        ans = ans * inv[n-m] % mod;  // 再乘以((n-m)!)^-1
      
        // 计算错排数D_{n-m}，即f[n-m]
        // 最终答案 = C(n,m) * D_{n-m}
        ans = ans * f[n-m] % mod;
      
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

【运行结果】

5
1 0
0
1 1
1
5 2
20
100 50
578028887
10000 5000
60695423