题解：洛谷 P1082 [NOIP 2012 提高组] 同余方程

【题目来源】

洛谷：P1082 [NOIP 2012 提高组] 同余方程 - 洛谷

【题目描述】

求关于 \(x\) 的同余方程 \(ax≡1(modb)\) 的最小正整数解。

【输入】

一行，包含两个整数 \(a,b\)，用一个空格隔开。

【输出】

一个整数 \(x_0\)，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

【输入样例】

3 10

【输出样例】

7

【算法标签】

《洛谷 P1082 同余方程》 #数学# #扩展欧几里得算法# #NOIP提高组# #2012#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a, b;  // 输入的两个整数
int x, y;   // 存储扩展欧几里得算法解出的系数

// 扩展欧几里得算法
void exgcd(int a, int b)
{
    // 递归终止条件：b为0时，gcd(a,0)=a
    if (b == 0)
    {
        x = 1;  // 此时x=1
        y = 0;  // y=0（可以是任意值，通常取0）
        return;
    }
  
    // 递归调用，交换a和b的位置
    exgcd(b, a % b);
  
    // 回溯时更新x和y的值
    int t = y;       // 保存上一层的y值
    y = x - a / b * y;  // 计算当前层的y值
    x = t;           // 当前层的x值等于上一层的y值
    return;
}

int main()
{
    // 输入两个整数a和b
    cin >> a >> b;
  
    // 调用扩展欧几里得算法
    exgcd(a, b);
  
    // 将x调整为最小正整数解
    x = (x % b + b) % b;
  
    // 输出结果（a关于模b的乘法逆元）
    cout << x << endl;
  
    return 0;
}

【运行结果】

3 10
7