题解：洛谷 P2568 GCD

【题目来源】

洛谷：P2568 GCD - 洛谷

【题目描述】

给定正整数 \(n\)，求 \(1\le x,y\le n\) 且 \(\gcd(x,y)\) 为素数的数对 \((x,y)\) 有多少对。

【输入】

只有一行一个整数，代表 \(n\)。

【输出】

一行一个整数表示答案。

【输入样例】

4

【输出样例】

4

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P2568 GCD》 #素数判断,质数,筛法# #前缀和# #欧拉函数#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 10000005;

int n, f[N], sa[N], ans;  // f: 欧拉函数值, sa: 欧拉函数前缀和, ans: 最终答案
int B[N];  // 标记数组，B[i]=1表示i是合数
vector<int> ve;  // 存储质数

// 线性筛法计算欧拉函数
void euler()
{
    f[1] = 1;  // φ(1)=1
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {   
        if (!B[i])  // 如果i是质数
        {
            ve.push_back(i);  // 加入质数表
            f[i] = i - 1;  // 质数的欧拉函数值为i-1
        }
      
        // 用当前已找到的质数筛去合数
        for (int j = 0; j < ve.size() && i * ve[j] <= n; j++)
        {
            B[i * ve[j]] = 1;  // 标记i*ve[j]为合数
          
            if (i % ve[j] == 0)  // 如果ve[j]是i的最小质因子
            {
                // 当i*ve[j]有平方因子时，φ(i*ve[j]) = φ(i) * ve[j]
                f[i * ve[j]] = f[i] * ve[j]; 
                break;  // 关键：确保每个合数只被最小质因子筛一次
            }
            else  // 如果ve[j]与i互质
            {
                // 当i与ve[j]互质时，φ(i*ve[j]) = φ(i) * φ(ve[j])
                f[i * ve[j]] = f[i] * f[ve[j]];
            }
        }
    }
}

signed main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    euler();  // 线性筛计算1~n的欧拉函数值
  
    // 计算欧拉函数前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sa[i] = sa[i - 1] + f[i];
    }
  
    // 计算最终答案
    for (int i = 0; i < ve.size(); i++)  // 遍历所有质数
    {
        ans += 2 * sa[n / ve[i]] - 1;  // 计算贡献
    }
  
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

4
4