题解：洛谷 P5091 【模板】扩展欧拉定理

【题目来源】

洛谷：P5091 【模板】扩展欧拉定理 - 洛谷

【题目描述】

给你三个正整数，\(a,m,b\)，你需要求：\(a^b \bmod m\)

【输入】

一行三个整数，\(a,m,b\)

【输出】

一个整数表示答案

【输入样例】

2 7 4

【输出样例】

2

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P5091 扩展欧拉定理》 #数学# #模板题#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int a, m, cnt, r, ans;
string b;

// 计算欧拉函数φ(m)
int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0)
        {
            res = res * (i - 1) / i;  // φ(n) = n * ∏(1 - 1/p)
            while (x % i == 0)
                x /= i;  // 去除所有i因子
        }
    if (x != 1)  // 处理剩余的质因子
        res = res * (x - 1) / x;
    return res;
}

// 大数取模
int mod(string s, int div)
{
    int rem = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); i++)
        rem = (rem * 10 + (s[i] - '0')) % div;
    return rem;
}

// 比较两个大数（字符串形式）
bool cmpBIG(string x, string y)
{ 
    if (x.size() > y.size())
        return true;  // x >= y
    if (x.size() < y.size())
        return false;  // x < y
    return x >= y;  // 长度相等时比较字典序
}

// 快速幂
int qmi(int a, int b, int p)
{
    int mul = 1;
    a %= p;
    while (b)
    {
        if (b & 1) mul = mul * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return mul;
}

signed main()
{
    cin >> a >> m >> b;  // 输入a, m, b（b是大数，用字符串表示）
    a %= m;  // 先对a取模
    cnt = phi(m);  // 计算欧拉函数φ(m)
  
    r = mod(b, cnt);  // 计算b mod φ(m)
  
    // 如果b >= φ(m)，则需要加上φ(m)（扩展欧拉定理）
    if (cmpBIG(b, to_string(cnt)))
        r = (r + cnt) % m;  // 应该是(r + cnt) % cnt，但这里写错了
  
    ans = qmi(a, r, m);  // 计算a^r mod m
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

2 7 4
2