题解：洛谷 P3861 拆分

【题目来源】

洛谷：P3861 拆分 - 洛谷

【题目描述】

给定一个整数 \(n\)，求将 \(n\) 分解为互不相同的不小于 \(2\) 的整数的乘积的方案数。答案模 \(998244353\)。

【输入】

第一行一个整数 \(T\)，表示数据组数。

接下来 \(T\) 行，每行一个整数 \(n\)，意义如描述所述。

【输出】

一共 \(T\) 行，每行一个整数，表示答案。

【输入样例】

1
688

【输出样例】

6

【算法标签】

《洛谷 P3861 拆分》 #动态规划DP# #数论# #洛谷原创# #洛谷月赛# #O2优化#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000005, mod = 998244353;
int t, n, cur, a[N];
int pos1[N], pos2[N];
int dp[7005][7005];
int k, pos, s;

signed main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cur = 0;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        cin >> n;
        s = sqrt(n);
      
        // 找出n的所有因子
        for (int i = 1; i * i <= n; i++)
            if (n % i == 0)
            {
                a[++cur] = i;
                if (i * i != n)  // 避免重复添加平方数
                    a[++cur] = n / i;
            }
      
        // 对因子排序
        sort(a + 1, a + cur + 1);
      
        // 建立因子的位置映射
        for (int i = 1; i + i <= cur + 1; i++)
        {
            pos1[a[i]] = i;           // 小于等于sqrt(n)的因子映射到前半部分
            pos2[a[i]] = cur + 1 - i; // 大于sqrt(n)的因子映射到后半部分
        }
      
        // 动态规划
        dp[1][1] = 1;  // 从因子1开始
        for (int i = 1; i <= cur; i++)
            for (int j = 2; j <= cur; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i][j-1];  // 不选第j个因子
              
                if (j > i) continue;  // 保证因子递增
              
                if (a[i] % a[j] == 0)  // 如果a[j]是a[i]的因子
                {
                    k = a[i] / a[j];  // 计算比值
                    if (k <= s)
                        pos = pos1[k];  // 小因子位置
                    else 
                        pos = pos2[n / k];  // 大因子位置
                  
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[pos][j-1]) % mod;  // 状态转移
                }
            }
      
        cout << (dp[cur][cur] - 1 + mod) % mod << endl;  // 输出结果
    }  
    return 0;
}

【运行结果】

1
688
6