题解：洛谷 P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪

【题目来源】

洛谷：P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 - 洛谷 (luogu.com.cn)

【题目描述】

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。举个例子，假如有 \(16\) 头母猪，如果建了 \(3\) 个猪圈，剩下 \(1\) 头猪就没有地方安家了。如果建造了 \(5\) 个猪圈，但是仍然有 \(1\) 头猪没有地方去，然后如果建造了 \(7\) 个猪圈，还有 \(2\) 头没有地方去。你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

【输入】

第一行包含一个整数 \(n\) —— 建立猪圈的次数，接下来 \(n\) 行，每行两个整数 \(a_i,b_i\)，表示建立了 \(a_i\) 个猪圈，有 \(b_i\) 头猪没有去处。你可以假定 \(a_1\sim a_n\) 互质。

【输出】

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

【输入样例】

3
3 1
5 1
7 2

【输出样例】

16

【算法标签】

《洛谷 P1495 中国剩余定理（CRT）》 #数学# #中国剩余定理CRT#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 将int定义为long long类型
const int N = 15;  // 最大方程数量
int n;  // 同余方程组数量
int m[N], r[N];  // m: 模数数组，r: 余数数组

// 扩展欧几里得算法，返回gcd(a,b)，并计算ax+by=gcd(a,b)的一组解
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)  // 递归终止条件
    {
        x = 1;  // 当b=0时，x=1
        y = 0;  // 当b=0时，y=0
        return a;  // 返回最大公约数
    }
    int x1, y1, d;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);  // 递归计算
    x = y1;  // 更新x
    y = x1 - a / b * y1;  // 更新y
    return d;  // 返回最大公约数
}

// 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）求解同余方程组
int CRT(int m[], int r[])
{
    int M = 1, ans = 0;  // M: 所有模数的乘积
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 计算M
    {
        M *= m[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int c = M / m[i];  // Mi = M/mi
        int x, y;
        exgcd(c, m[i], x, y);  // 求解 Mi*x ≡ 1 (mod mi)
        ans = (ans + r[i] * c * x % M) % M;  // 累加 ai*Mi*xi
    }
    return (ans % M + M) % M;  // 确保结果为非负最小整数解
}

signed main()  // 因为定义了int为long long，所以使用signed main
{
    cin >> n;  // 读入方程数量
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> m[i] >> r[i];  // 读入每个方程的模数和余数
    }
    cout << CRT(m, r) << endl;  // 输出同余方程组的解
    return 0;
}

// 调整int的范围，保证最后一个样例通过
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// #define ll long long
typedef long long ll;  // 定义ll为long long类型
#define ll __int128  // 实际上将ll重新定义为__int128类型
const int N = 15;  // 最大方程数量
int n;  // 同余方程组数量
int m[N], r[N];  // m: 模数数组，r: 余数数组

// 扩展欧几里得算法，使用__int128类型
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (!b)  // 递归终止条件
    {
        x = 1;  // 当b=0时，x=1
        y = 0;  // 当b=0时，y=0
        return a;  // 返回最大公约数
    }
    ll x1, y1, d;
    d = exgcd(b, a % b, x1, y1);  // 递归计算
    x = y1;  // 更新x
    y = x1 - a / b * y1;  // 更新y
    return d;  // 返回最大公约数
}

// 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）求解同余方程组
ll CRT(int m[], int r[])
{
    ll M = 1, ans = 0;  // M: 所有模数的乘积
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 计算M
    {
        M *= m[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ll c = M / m[i];  // Mi = M/mi
        ll x, y;
        exgcd(c, m[i], x, y);  // 求解 Mi*x ≡ 1 (mod mi)
        ans = (ans + r[i] * c * x % M) % M;  // 累加 ai*Mi*xi
    }
    return (ans % M + M) % M;  // 确保结果为非负最小整数解
}

int main()
{
    scanf("%lld", &n);  // 读入方程数量
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld%lld", m + i, r + i);  // 读入每个方程的模数和余数
    }
    printf("%lld\n", CRT(m, r));  // 输出同余方程组的解
    return 0;
}

【运行结果】

3
3 1
5 1
7 2
16