题解：洛谷 P1450 [HAOI2008] 硬币购物

【题目来源】

洛谷：P1450 [HAOI2008] 硬币购物 - 洛谷

【题目描述】

共有 \(4\) 种硬币。面值分别为 \(c_1,c_2,c_3,c_4\)。

某人去商店买东西，去了 \(n\) 次，对于每次购买，他带了 \(d_i\) 枚 \(i\) 种硬币，想购买 \(s\) 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

【输入】

输入的第一行是五个整数，分别代表 \(c_1,c_2,c_3,c_4,n\)。

接下来 \(n\) 行，每行有五个整数，描述一次购买，分别代表 \(d_1,d_2,d_3,d_4,s\)。

【输出】

对于每次购买，输出一行一个整数代表答案。

【输入样例】

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
1000 2 2 2 900

【输出样例】

4
27

【算法标签】

《洛谷 P1450 硬币购物》 #动态规划,dp# #数学# #递推# #容斥原理# #各省省选# #河南# #2008#

【代码详解】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
int c[4], d[4], n, s;  // c: 硬币面值, d: 每种硬币的限制数量, n: 查询次数, s: 目标金额
LL f[100005];  // f[j]: 用无限硬币组成金额j的方案数（不考虑限制）

// 完全背包预处理：计算不考虑硬币数量限制时，组成各种金额的方案数
void pack_pre() 
{ 
    // 完全背包预处理
    f[0] = 1;  // 金额为0只有一种方案：不选任何硬币
  
    for (int i = 0; i < 4; i++)  // 遍历4种硬币
    {
        for (int j = c[i]; j < 100005; j++)  // 完全背包正向遍历
        {
            f[j] += f[j - c[i]];  // 状态转移：使用第i种硬币
        }
    }
}

// 容斥原理计算：在硬币数量限制下，组成金额s的方案数
LL calc(LL s) 
{ 
    // 容斥原理计算
    LL res = 0;
  
    // 枚举所有非空子集（使用状态压缩，i从1到15）
    for (int i = 1; i < 1 << 4; i++)
    {
        // 枚举状态
        LL t = 0, sign = -1;  // t: 超过限制的硬币总金额, sign: 容斥系数（初始为-1）
      
        for (int j = 0; j < 4; j++)  // 过滤状态
        {
            if (i & 1 << j)  // 如果第j种硬币被选中（即违反限制）
            {
                t += c[j] * (d[j] + 1);  // 这种硬币至少使用了d[j]+1个
                sign = -sign;  // 改变容斥系数符号
            }
        }
      
        if (s >= t)  // 如果目标金额s大于等于超过限制的总金额
        {
            res += f[s - t] * sign;  // 应用容斥原理
        }
    }
  
    return f[s] - res;  // 总方案数减去违反限制的方案数
}

int main()
{
    // 读入4种硬币的面值
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    {
        scanf("%d", &c[i]);
    }
  
    pack_pre();  // 预处理完全背包
  
    scanf("%d", &n);  // 读入查询次数
  
    while (n--)
    {
        // 读入每种硬币的限制数量
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            scanf("%d", &d[i]);
        }
      
        scanf("%d", &s);  // 读入目标金额
      
        printf("%lld\n", calc(s));  // 计算并输出结果
    }
  
    return 0;
}

// 使用acwing模板二刷
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
#define int long long
int c[4], d[4], n, s;  // c: 硬币面值, d: 每种硬币的限制数量, n: 查询次数, s: 目标金额
int f[N];  // f[j]: 完全背包，不考虑限制时组成金额j的方案数

// 完全背包预处理：计算不考虑硬币数量限制时，组成各种金额的方案数
void pack_pre()
{
    f[0] = 1;  // 金额为0只有一种方案：不选任何硬币
    for (int i = 0; i < 4; i++)  // 遍历4种硬币
    {
        for (int j = c[i]; j < 100005; j++)  // 完全背包正向遍历
        {
            f[j] += f[j - c[i]];  // 状态转移：使用第i种硬币
        }
    }
}

// 容斥原理计算：在硬币数量限制下，组成金额s的方案数
int calc(int s)
{
    int res = 0;  // 违反限制的方案数总和（带容斥系数）
  
    // 枚举所有非空子集（状态压缩，1到15）
    for (int i = 1; i < (1 << 4); i++)  // 遍历所有硬币组合
    {
        int t = 0, cnt = 0;  // t: 超过限制的最小总金额, cnt: 违反限制的硬币种类数
      
        // 检查哪些硬币违反了限制
        for (int j = 0; j < 4; j++)  // 遍历4种硬币
        {
            if (i >> j & 1)  // 如果第j位为1，表示第j种硬币违反限制
            {
                cnt++;  // 违反限制的硬币种类数加1
                t += c[j] * (d[j] + 1);  // 这种硬币至少使用d[j]+1个
            }
        }
      
        // 如果目标金额大于等于违反限制所需的最小金额
        if (s >= t)
        {
            // 根据容斥原理：奇数个违反限制时加，偶数个违反限制时减
            if (cnt % 2)  // 奇数个违反限制
            {
                res += f[s - t];  // 加上违反限制的方案数
            }
            else  // 偶数个违反限制
            {
                res -= f[s - t];  // 减去违反限制的方案数
            }
        }
    }
  
    return f[s] - res;  // 总方案数减去违反限制的方案数
}

signed main()
{
    // 读入4种硬币的面值
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    {
        cin >> c[i];
    }
  
    pack_pre();  // 预处理完全背包
  
    cin >> n;  // 读入查询次数
  
    while (n--)  // 处理每个查询
    {
        // 读入每种硬币的限制数量
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            cin >> d[i];
        }
      
        cin >> s;  // 读入目标金额
      
        cout << calc(s) << endl;  // 计算并输出结果
    }
  
    return 0;
}

【运行结果】

1 2 5 10 2
3 2 3 1 10
4
1000 2 2 2 900
27