题解：洛谷 P1896 [SCOI2005] 互不侵犯

【题目来源】

洛谷：P1896 [SCOI2005] 互不侵犯 - 洛谷

【题目描述】

在 \(N×N\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 \(8\) 个格子。

【输入】

只有一行，包含两个数 \(N,K\)。

【输出】

所得的方案数

【输入样例】

3 2

【输出样例】

16

【算法标签】

《洛谷 P1896 互不侵犯》 #动态规划DP# #深度优先搜索DFS# #轮廓线DP# #状压DP# #各省省选# #2005# #四川#

【代码详解】

// 引入所有标准库头文件，方便使用各种标准库功能
#include <bits/stdc++.h>

// 使用标准命名空间，避免每次使用标准库函数时都需要加 std:: 前缀
using namespace std;

// 定义全局变量
int n, k;                      // n: 棋盘的行数，k: 需要放置的国王数量
long long f[9][1 << 9][82];    // f[i][st][j]: 动态规划数组，表示前i行状态为st且已放置j个国王的方案数
long long ans;                 // ans: 存储最终结果

// 计算状态st中1的个数（即该状态放置的国王数量）
int c(int st)
{
    int cnt = 0;
    while (st)
    {
        if (st % 2)
        {
            cnt++;
        }
        st /= 2;
    }
    return cnt;
}

// 检查状态st是否合法（即没有相邻的1）
bool check1(int st)
{
    for (int i = 0; i + 1 < n; i++)
    {
        if ((st & (1 << i)) && (st & (1 << (i + 1))))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 检查状态st和st2是否可以相邻（即没有相邻或重叠的1）
bool check2(int st, int st2)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (st & (1 << i))
        {
            if (st2 & (1 << i))
            {
                return false;
            }
            else if (i + 1 < n && (st2 & (1 << (i + 1))))
            {
                return false;
            }
            else if (i - 1 >= 0 && (st2 & (1 << (i - 1))))
            {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

// 主函数，程序的入口点
int main()
{
    // 读取输入数据：n（棋盘行数），k（需要放置的国王数量）
    cin >> n >> k;

    // 初始化动态规划数组f
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int st = 0; st < (1 << n); st++)
        {
            // 如果状态st不合法，跳过
            if (!check1(st))
            {
                continue;
            }

            // 如果是第一行，初始化f[0][st][c(st)]为1
            if (i == 0)
            {
                f[i][st][c(st)] = 1;
            }
            else
            {
                // 遍历所有可能的已放置国王数量j
                for (int j = c(st); j <= k; j++)
                {
                    // 遍历所有可能的前一行状态st2
                    for (int st2 = 0; st2 < (1 << n); st2++)
                    {
                        // 如果状态st2不合法或与st冲突，跳过
                        if (!check1(st2) || !check2(st, st2))
                        {
                            continue;
                        }

                        // 状态转移：f[i][st][j] += f[i-1][st2][j-c(st)]
                        f[i][st][j] += f[i - 1][st2][j - c(st)];
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 统计所有合法状态的总方案数
    for (int st = 0; st < (1 << n); st++)
    {
        ans += f[n - 1][st][k];
    }

    // 输出最终结果
    cout << ans << endl;

    // 程序正常结束，返回0
    return 0;
}

【运行结果】

3 2
16