题解：洛谷 P1880 [NOI1995] 石子合并

【题目来源】

洛谷：P1880 [NOI1995] 石子合并 - 洛谷

【题目描述】

在一个圆形操场的四周摆放 \(N\) 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 \(2\) 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 \(N\) 堆石子合并成 \(1\) 堆的最小得分和最大得分。

【输入】

数据的第 \(1\) 行是正整数 \(N\)，表示有 \(N\) 堆石子。

第 \(2\) 行有 \(N\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(a_i\) 表示第 \(i\) 堆石子的个数。

【输出】

输出共 \(2\) 行，第 \(1\) 行为最小得分，第 \(2\) 行为最大得分。

【输入样例】

4
4 5 9 4

【输出样例】

43
54

【算法标签】

《洛谷 P1880 石子合并》 #动态规划DP# #区间DP# #四边形不等式# #NOI#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 205;  // 定义最大石子堆数的两倍

int n;              // 石子堆数
int a[N];           // 存储石子数量的数组（环形展开为两倍长度）
int sum[N];         // 前缀和数组
int f_min[N][N];    // f_min[i][j]表示合并i到j堆的最小得分
int f_max[N][N];    // f_max[i][j]表示合并i到j堆的最大得分
int ans_min = 1e9;  // 最小得分结果
int ans_max;        // 最大得分结果

int main()
{
    // 输入石子堆数和每堆石子数量
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        a[i + n] = a[i];  // 环形问题展开为两倍长度
    }

    // 初始化最小得分数组为极大值
    memset(f_min, 0x3f, sizeof(f_min));
  
    // 初始化前缀和数组和单堆得分为0
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
    {
        f_min[i][i] = 0;              // 单堆不需要合并，得分为0
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];    // 计算前缀和
    }

    // 动态规划处理所有可能的合并区间
    for (int len = 2; len <= n; len++)        // 枚举区间长度
    {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i++)  // 枚举区间起点
        {
            int j = i + len - 1;             // 区间终点
            for (int k = i; k < j; k++)      // 枚举分割点
            {
                // 更新最小得分
                f_min[i][j] = min(f_min[i][j], 
                                 f_min[i][k] + f_min[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
              
                // 更新最大得分
                f_max[i][j] = max(f_max[i][j],
                                 f_max[i][k] + f_max[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
            }
        }
    }

    // 在所有可能的n长度区间中寻找最优解
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans_min = min(ans_min, f_min[i][i + n - 1]);
        ans_max = max(ans_max, f_max[i][i + n - 1]);
    }

    // 输出结果
    cout << ans_min << endl << ans_max << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

4
4 5 9 4
43
54