题解：洛谷 P1037 [NOIP 2002 普及组] 产生数

【题目来源】

洛谷：[P1037 NOIP 2002 普及组] 产生数 - 洛谷 (luogu.com.cn)

【题目描述】

给出一个整数 \(n\) 和 \(k\) 个变换规则。

关于规则：

• 一位数可变换成另一个一位数：
• 规则的右部不能为零。

例如：\(n=234\)，有 \(k=2\) 个规则：

• \(2\rarr 5\)
• \(3\rarr 6\)

上面的整数 \(234\) 经过变换后可能产生出的整数为（包括原数）:

• \(234\)
• \(534\)
• \(264\)
• \(564\)

共 \(4\) 种不同的产生数。

给出一个整数 \(n\) 和 \(k\) 个规则，请你计算，经过任意次的变换（\(0\) 次或多次），能产生出多少个不同整数。

仅要求输出个数。

【输入】

第一行包含两个整数 \(n,k\)。

接下来 \(k\) 行，每行包含两个整数 \(x_i,y_i\)，表示一条规则为 \(x_i\rarr y_i\)。

【输出】

一个整数，表示能生出的不同整数的个数。

【输入样例】

234 2
2 5
3 6

【输出样例】

4

【算法标签】

《洛谷 P1037 产生数》 #高精度# #深度优先搜索DFS# #NOIP普及组# #2002#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;

const int N = 35;  // 定义常量：N为节点数量上限
int dist[11][11];  // dist[i][j]：数字i是否可以转换为数字j（1表示可以，0表示不可以）
int num[11];  // num[i]：数字i可以转换的数字种类数
string str;  // 存储输入的整数字符串
int k;  // 规则数量
int t[N];  // t[i]：整数第i位数字的变换种类数
vector<int> ans;  // 存储最终结果的每一位数字

// Floyd-Warshall算法实现
void floyd()
{
    // 三重循环，k是中间节点，i是起点，j是终点
    for (int k = 1; k <= 9; k++)
        for (int i = 0; i <= 9; i++)
            for (int j = 0; j <= 9; j++)
                // 如果i可以转换为k，且k可以转换为j，则i可以转换为j
                if (dist[i][k] && dist[k][j])
                    dist[i][j] = 1;
}

// 高精度乘法：将高精度数A乘以整数b
vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
    int t = 0;  // 进位
    vector<int> C;  // 存储结果
    for (int i = 0; i < A.size() || t > 0; i++) {
        if (i < A.size()) t = A[i] * b + t;  // 计算当前位的乘积并加上进位
        C.push_back(t % 10);  // 将当前位的值加入结果
        t = t / 10;  // 计算进位
    }
    return C;  // 返回结果
}

int main()
{
    cin >> str >> k;  // 输入整数字符串和规则数量

    // 初始化dist数组
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;  // 输入规则：a可以转换为b
        dist[a][b] = 1;  // 标记a可以转换为b
    }

    floyd();  // 调用Floyd-Warshall算法，计算所有数字之间的转换关系

    // 计算每个数字可以转换的数字种类数
    for (int i = 0; i <= 9; i++) {
        dist[i][i] = 1;  // 每个数字可以转换为自身
        for (int j = 0; j <= 9; j++)
            if (dist[i][j] == 1) num[i]++;  // 统计数字i可以转换的数字种类数
    }

    int len = str.size();  // 获取整数的位数

    // 计算每一位数字的变换种类数
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        t[i] = num[str[i] - '0'];  // 将字符转换为数字，并获取其变换种类数
    }

    // 初始化结果为第一位数字的变换种类数
    ans.push_back(t[0]);

    // 依次乘以每一位数字的变换种类数
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        vector<int> D = mul(ans, t[i]);  // 高精度乘法
        ans = D;  // 更新结果
    }

    // 输出结果（从高位到低位）
    for (int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) {
        cout << ans[i];
    }

    return 0;  // 程序结束
}

【运行结果】

234 2
2 5
3 6
4