题解：洛谷 P1073 [NOIP 2009 提高组] 最优贸易

【题目来源】

洛谷：[P1073 NOIP 2009 提高组] 最优贸易 - 洛谷

【题目描述】

C 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路，每条道路连接这 \(n\) 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 \(1\) 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 \(n\) 个城市的标号从 \(1∼n\)，阿龙决定从 \(1\) 号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 \(5\) 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 \(1∼n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。

阿龙可以选择如下一条线路：\(1→2→3→5\)，并在 \(2\) 号城市以 \(3\) 的价格买入水晶球，在 \(3\) 号城市以 \(5\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(2\)。

阿龙也可以选择如下一条线路：\(1→4→5→4→5\)，并在第 \(1\) 次到达 \(5\) 号城市时以 \(1\) 的价格买入水晶球，在第 \(2\) 次到达 \(4\) 号城市时以 \(6\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(5\)。

现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格，\(m\) 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

【输入】

第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\)，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 \(n\) 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 \(n\) 个城市的商品价格。

接下来 \(m\) 行，每行有 \(3\) 个正整数 \(x,y,z\)，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 \(z\)\(=\)\(1\)，表示这条道路是城市 \(x\) 到城市 \(y\) 的单向道路；如果 \(z\)\(=\)\(2\)，表示这条道路为城市 \(x\) 和城市 \(y\) 之间的双向道路。

【输出】

一个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 \(0\)。

【输入样例】

【输出样例】

【算法标签】

《洛谷 P1073 最优贸易》 #动态规划DP# #搜索# #图论# #最短路# #强连通分量# #NOIP提高组# #2009#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005;  // 定义最大节点数

int n, m;               // n-节点数，m-边数
int p[N];               // 存储每个节点的权值
int minn[N];            // 存储从根到当前节点的路径上的最小值
int maxx[N];            // 存储从根到当前节点的路径上的最大差值
int u, v, opt;          // 临时变量：u,v-边的两个节点，opt-边的类型
vector<int> ve[N];      // 邻接表存储图结构

/**
 * 深度优先搜索函数
 * @param x 当前节点
 * @param y 从根到父节点的路径上的最小值
 * @param z 父节点
 */
void dfs(int x, int y, int z)
{
    bool flag = false;  // 标记是否需要继续向下搜索
    
    // 更新当前路径的最小值
    if (y > p[x])
    {
        minn[x] = p[x];
        y = p[x];
        flag = true;
    }
    else if (minn[x] > y)
    {
        minn[x] = y;
        flag = true;
    }
    
    // 更新当前路径的最大差值（当前节点值-路径最小值）
    if (maxx[x] < max(maxx[z], p[x] - minn[x]))
    {
        maxx[x] = max(maxx[z], p[x] - minn[x]);
        flag = true;
    }
    
    // 如果状态有更新，则继续搜索子节点
    if (flag)
    {
        for (int i = 0; i < ve[x].size(); i++)
        {
            int tmp_v = ve[x][i];
            dfs(tmp_v, y, x);
        }
    }
}

int main()
{
    // 输入节点数和边数
    cin >> n >> m;
    
    // 输入每个节点的权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> p[i];
    }
    
    // 构建图的邻接表
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> opt;
        ve[u].push_back(v);
        if (opt == 2)  // 如果是双向边
        {
            ve[v].push_back(u);
        }
    }
    
    // 初始化minn数组为极大值
    memset(minn, 0x3f, sizeof(minn));
    
    // 从根节点开始DFS
    dfs(1, 0x3f3f3f3f, 0);
    
    // 输出从根到n号节点的最大差值
    cout << maxx[n] << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-02-19 16:18 团爸讲算法阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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