题解：洛谷 P1351 [NOIP 2014 提高组] 联合权值

【题目来源】

洛谷：[P1351 NOIP 2014 提高组] 联合权值 - 洛谷

【题目描述】

无向连通图 \(G\) 有 \(n\) 个点，\(n−1\) 条边。点从 \(1\) 到 \(n\) 依次编号,编号为 \(i\) 的点的权值为 \(W_i\)，每条边的长度均为 \(1\)。图上两点 \((u,v)\) 的距离定义为 \(u\) 点到 \(v\) 点的最短距离。对于图 \(G\) 上的点对 \((u,v)\)，若它们的距离为 \(2\)，则它们之间会产生 \(W_v×W_u\) 的联合权值。

请问图 \(G\) 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

【输入】

第一行包含 \(1\) 个整数 \(n\)。

接下来 \(n−1\) 行,每行包含 \(2\) 个用空格隔开的正整数 \(u,v\)，表示编号为 \(u\) 和编号为 \(v\) 的点之间有边相连。

最后 \(1\) 行，包含 \(n\) 个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第 \(i\) 个整数表示图 \(G\) 上编号为 \(i\) 的点的权值为 \(W_i\)。

【输出】

输出共 \(1\) 行，包含 \(2\) 个整数，之间用一个空格隔开,依次为图 \(G\) 上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对 \(10007\) 取余。

【输入样例】

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10 

【输出样例】

20 74

【算法标签】

《洛谷 P1351 联合权值》 #动态规划DP# #树形DP# #最近公共祖先LCA# #NOIP提高组# #2014#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int mod = 10007;  // 模数

// 定义节点结构体
struct Node
{
    int w;              // 节点的权值
    vector<int> ve;     // 存储相邻节点
    vector<int> wi;     // 存储相邻节点的权值
    int sum;            // 相邻节点权值之和
    int sub;            // 相邻节点权值平方之和
} s[200005];            // 节点数组

int n, u, v, maxx, ans;  // n: 节点数, u,v: 临时变量, maxx: 最大乘积, ans: 计算结果

signed main()
{
    // 输入节点数
    cin >> n;
    
    // 构建树结构，输入n-1条边
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> u >> v;
        s[u].ve.push_back(v);  // 添加u的邻居v
        s[v].ve.push_back(u);  // 添加v的邻居u
    }
    
    // 输入每个节点的权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> s[i].w;
    }
    
    // 处理每个节点
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 如果邻居数少于2，跳过（无法形成乘积）
        if (s[i].ve.size() < 2)
        {
            continue;
        }
        
        // 遍历所有邻居节点
        for (int j = 0; j < s[i].ve.size(); j++)
        {
            v = s[i].ve[j];  // 获取邻居节点
            s[i].wi.push_back(s[v].w);  // 记录邻居节点的权值
            s[i].sum += s[v].w;         // 累加邻居节点权值之和
            s[i].sub += s[v].w * s[v].w;  // 累加邻居节点权值平方之和
        }
        
        // 计算并累加结果：使用公式 (sum)^2 - sub
        ans += s[i].sum * s[i].sum - s[i].sub;
        ans %= mod;  // 取模
        
        // 对邻居节点权值排序
        sort(s[i].wi.begin(), s[i].wi.end());
        int len = s[i].wi.size() - 1;
        
        // 更新最大乘积（最大的两个权值相乘）
        maxx = max(maxx, s[i].wi[len] * s[i].wi[len - 1]);
    }
    
    // 输出最大乘积和计算结果
    cout << maxx << " " << ans << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

5  
1 2  
2 3
3 4  
4 5  
1 5 2 3 10 
20 74