题解：洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

【题目来源】

洛谷：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA） - 洛谷

【题目描述】

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

【输入】

第一行包含三个正整数 \(N,M,S\)，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 \(N-1\) 行每行包含两个正整数 \(x, y\)，表示 \(x\) 结点和 \(y\) 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 \(M\) 行每行包含两个正整数 \(a, b\)，表示询问 \(a\) 结点和 \(b\) 结点的最近公共祖先。

【输出】

输出包含 \(M\) 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

【输入样例】

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

【输出样例】

4
4
1
4
4

【算法标签】

《洛谷 P3379 最近公共祖先（LCA）》 #最近公共祖先LCA# #模板题# #O2优化#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500005;
int n, m, s, a, b;  // n: 节点数，m: 查询数，s: 根节点
vector<int> e[N];   // 邻接表存储树
int dep[N];         // 节点的深度
int fa[N][20];      // 倍增祖先表，fa[u][i]表示u的2^i级祖先

// 深度优先搜索，预处理深度和祖先表
void dfs(int u, int father)
{
    // 计算当前节点的深度
    dep[u] = dep[father] + 1;
    
    // 初始化直接父节点
    fa[u][0] = father;
    
    // 预处理倍增祖先表
    for (int i = 1; i <= 19; i++)
        fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
    
    // 遍历子节点
    for (int v : e[u])
        if (v != father)  // 避免走回父节点
            dfs(v, u);
}

// 求两个节点的最近公共祖先
int lca(int u, int v)
{
    // 第一步：将u和v调整到同一深度
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    
    // 将u向上跳，直到与v同深度
    for (int i = 19; i >= 0; i--)
        if (dep[fa[u][i]] >= dep[v])
            u = fa[u][i];
    
    // 如果此时u==v，说明v是u的祖先
    if (u == v) return v;
    
    // 第二步：u和v同时向上跳
    for (int i = 19; i >= 0; i--)
        if (fa[u][i] != fa[v][i])  // 如果祖先不同，就一起向上跳
            u = fa[u][i], v = fa[v][i];
    
    // 此时u和v的父节点就是LCA
    return fa[u][0];
}

int main()
{
    // 输入树的信息
    cin >> n >> m >> s;
    
    // 读入n-1条边
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }
    
    // 从根节点s开始DFS，预处理深度和祖先表
    dfs(s, 0);
    
    // 处理m个查询
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << lca(a, b) << endl;  // 输出LCA
    }
    
    return 0;
}

【运行结果】

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
4
3 2
4
3 5
1
1 2
4
4 5
4