题解：AcWing 511 联合权值

【题目来源】

AcWing：511. 联合权值 - AcWing题库

【题目描述】

无向连通图G有\(n\)个点，\(n-1\)条边。点从\(1\)到\(n\)依次编号，编号为\(i\)的点的权值为\(W_i\)，每条边的长度均为\(1\)。图上两点\((u, v)\)的距离定义为\(u\)点到\(v\)点的最短距离。对于图G上的点对\((u,v)\)，若它们的距离为\(2\)，则它们之间会产生\(W_u\times W_v\)的联合权值。

请问图G上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少？所有联合权值之和是多少？

【输入】

第一行包含\(1\)个整数 \(n\)。接下来\(n-1\)行，每行包含\(2\)个用空格隔开的正整数\(u,v\)，表示编号为\(u\)和编号为\(v\)的点之间有边相连。

最后\(1\)行，包含\(n\)个正整数，每两个正整数之间用一个空格隔开，其中第\(i\) 个整数表示图G上编号为\(i\)的点的权值为\(W_i\)。

【输出】

输出共\(1\)行，包含\(2\)个整数，之间用一个空格隔开，依次为图G上联合权值的最大值和所有联合权值之和。由于所有联合权值之和可能很大，输出它时要对\(10007\)取余。

【输入样例】

5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5 2 3 10

【输出样例】

20 74

【解题思路】

【算法标签】

《AcWing 511 联合权值》 #DFS#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 200010, M = N * 2, mod = 10007; // 定义常量
int h[N], e[M], ne[M], w[N], idx; // 图的邻接表存储
int n; // 节点数量
int ans_max, ans_sum; // 存储最终结果

// 添加边的函数
void add(int a, int x) {
    e[idx] = x;       // 存储边的终点
    ne[idx] = h[a];   // 将新边插入到节点 a 的邻接表头部
    h[a] = idx++;     // 更新节点 a 的邻接表头指针
}

// 计算最大值和和的函数
void cal() {
    for (int u = 1; u <= n; u++) { // 遍历每个节点
        long long t1 = 0, t2 = 0;  // t1 存储邻接节点权值和，t2 存储邻接节点权值平方和
        int max1 = 0, max2 = 0;    // max1 和 max2 存储邻接节点权值的最大和次大值

        // 遍历节点 u 的所有邻接节点
        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i]; // 邻接节点 j
            t1 += w[j];   // 累加邻接节点的权值
            t2 += w[j] * w[j]; // 累加邻接节点权值的平方

            // 更新最大值和次大值
            if (w[j] > max2) {
                if (w[j] > max1) {
                    max2 = max1; // 原来的最大值变为次大值
                    max1 = w[j]; // 更新最大值
                } else {
                    max2 = w[j]; // 更新次大值
                }
            }
        }

        // 更新全局最大值
        ans_max = max(ans_max, max1 * max2);

        // 更新全局和，公式为 (t1 * t1 - t2) % mod
        ans_sum = (ans_sum + (t1 * t1 - t2) % mod) % mod;
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof(h)); // 初始化邻接表头指针为 -1
    cin >> n; // 读取节点数量

    // 读取边的信息并构建图
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b; // 读取边的两个端点
        add(a, b); // 添加边 a -> b
        add(b, a); // 添加边 b -> a
    }

    // 读取每个节点的权值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i];

    // 计算最大值和和
    cal();

    // 输出结果
    cout << ans_max << " " << ans_sum;

    return 0;
}

【运行结果】

5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5 2 3 10
20 74