题解：洛谷 P1714 切蛋糕

【题目来源】

洛谷：P1714 切蛋糕 - 洛谷

【题目描述】

今天是小 Z 的生日，同学们为他带来了一块蛋糕。这块蛋糕是一个长方体，被用不同色彩分成了 \(n\) 个相同的小块，每小块都有对应的幸运值。

小 Z 作为寿星，自然希望吃到的蛋糕的幸运值总和最大，但小 Z 最多又只能吃 \(m(m\le n)\) 小块的蛋糕。

请你帮他从这 \(n\) 小块中找出连续的 \(k(1 \le k\le m)\) 块蛋糕，使得其上的总幸运值最大。

形式化地，在数列 \(\{p_n\}\) 中，找出一个子段 \([l,r](r-l+1\le m)\)，最大化 \(\sum\limits_{i=l}^rp_i\)。

【输入】

第一行两个整数 \(n,m\)。分别代表共有 \(n\) 小块蛋糕，小 Z 最多只能吃 \(m\) 小块。

第二行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(p_i\) 代表第 \(i\) 小块蛋糕的幸运值。

【输出】

仅一行一个整数，即小 Z 能够得到的最大幸运值。

【输入样例】

5 2
1 2 3 4 5

【输出样例】

9

【算法标签】

《洛谷 P1714 切蛋糕》 #单调队列# #前缀和# #队列# ST表

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long  // 将int重新定义为long long类型
const int N = 500005;  // 定义常量N，最大数组大小
int n, m, a[N], sa[N], ans = -1e9;  // n: 数组长度, m: 最大子数组长度, a: 原始数组, sa: 前缀和数组, ans: 结果

struct Node
{
    int s, idx;  // s: 前缀和值, idx: 索引位置
};
deque<Node> dq;  // 双端队列，用于维护滑动窗口最小值

signed main()  // 因为使用了#define int long long, 所以用signed main
{
    cin >> n >> m;  // 输入数组长度和最大子数组长度
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];  // 输入数组元素
        sa[i] = sa[i - 1] + a[i];  // 计算前缀和
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 维护队列：删除超出窗口范围的元素
        // 窗口大小为m，只考虑i-m到i-1的前缀和
        while (dq.size())
        {
            if (dq.front().idx < i - m)  // 如果队首元素索引小于i-m，超出窗口范围
                dq.pop_front();  // 删除队首元素
            else 
                break;  // 否则停止
        }
        
        // 维护队列：保持队列单调递增
        // 如果队尾元素的前缀和大于等于当前前缀和，则删除队尾元素
        // 因为对于后面的i来说，当前元素更优（前缀和更小，索引更靠后）
        while (dq.size())
        {
            if (dq.back().s >= sa[i - 1])  // 如果队尾元素的前缀和大于等于当前前缀和
                dq.pop_back();  // 删除队尾元素
            else 
                break;  // 否则停止
        }
        
        // 将当前元素的前缀和加入队列
        dq.push_back({sa[i - 1], i - 1});
        
        // 更新答案：当前前缀和减去队列最小值
        // 即sa[i] - sa[j] 表示子数组a[j+1...i]的和
        ans = max(ans, sa[i] - dq.front().s);
    }
    
    cout << ans << endl;  // 输出最大子数组和
    return 0;
}

【运行结果】

5 2
1 2 3 4 5
9