题解：洛谷 P3406 海底高铁

【题目来源】

洛谷：P3406 海底高铁 - 洛谷

【题目描述】

该铁路经过 \(N\) 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 \(i\) 段铁路连接了城市 \(i\) 和城市 \(i+1(1\le i\lt N)\)。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 \(i\) 段铁路购买纸质单程票需要 \(A_i\) 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 \(i\) 段铁路，需要花 \(C_i\) 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 \(B_i(B_i\lt A_i)\) 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 \(i\) 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 \(M\) 个城市，从城市 \(P_1\) 出发分别按照 \(P_1,P_2,P_3,\dots,P_M\) 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

【输入】

第一行两个整数，\(N,M\)。

接下来一行，\(M\) 个数字，表示 \(P_i\)。

接下来 \(N−1\) 行，表示第 \(i\) 段铁路的 \(A_i,B_i,C_i\)。

【输出】

一个整数，表示最少花费

【输入样例】

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

【输出样例】

6394

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P3406 海底高铁》 #前缀和#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int N = 100005;  // 定义最大数组长度

int a[N], b[N], c[N];  // a: 差分数组, b: 存储站点序列, c: 前缀和数组
int n, m, x, y, z, ans; // n: 站点数, m: 访问次数, x,y,z: 临时变量, ans: 总花费

signed main()  // 使用signed替代int，因为定义了int为long long
{
    // 输入站点数量和访问次数
    cin >> n >> m;
    
    // 输入访问的站点序列
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
    {
        cin >> b[i];
        
        // 从第二次访问开始处理
        if (i > 1) 
        {
            // 确定相邻两个站点的顺序（从小到大）
            if (b[i] > b[i - 1]) 
            {
                x = b[i - 1], y = b[i];
            }
            else 
            {
                x = b[i], y = b[i - 1];
            }
            
            // 使用差分数组标记区间（左闭右开）
            a[x + 1]++;
            a[y + 1]--;
        }
    }
    
    // 计算前缀和，得到每个区间的访问次数
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        c[i] = c[i - 1] + a[i];
    }
    
    // 注释掉的调试输出
    // for (int i=1; i<=n; i++) {
    //     cout << c[i] << " ";
    // }
    // cout << endl;
    
    // 计算最小总花费
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
    {
        cin >> x >> y >> z;
        // 比较纸质票和IC卡的总花费，取较小值
        ans += min(x * c[i], y * c[i] + z);
    }
    
    // 输出最终结果
    cout << ans;
    
    return 0;
}

【运行结果】

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10
6394