题解：洛谷 P1719 最大加权矩形

【题目来源】

洛谷：P1719 最大加权矩形 - 洛谷

【题目描述】

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 \(n\times n\) 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 \([-127,127]\) ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 \(15\)。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

【输入】

第一行：\(n\)，接下来是 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵。

【输出】

最大矩形（子矩阵）的和。

【输入样例】

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

【输出样例】

15

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P1719 最大加权矩形》 #动态规划,dp# #递推# #枚举# #降维# #前缀和#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 120;  // 定义矩阵最大尺寸
int n;              // 矩阵的实际尺寸
int a[N][N];        // 原始矩阵
int s[N][N];        // 前缀和矩阵（实际未使用，可以删除）
int tot;            // 未使用的变量（可以删除）

int main()
{
    // 输入矩阵尺寸
    cin >> n;
    
    // 构建二维前缀和矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++) 
        {
            int v;
            cin >> v;
            // 计算前缀和：当前值 = 上方前缀和 + 左方前缀和 - 左上角前缀和 + 当前值
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + v;
        }
    }
    
    int res = -1e9;  // 初始化结果为极小值
    
    // 四重循环枚举所有可能的子矩阵
    for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++)       // 子矩阵左上角x坐标
    {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)   // 子矩阵左上角y坐标
        {
            for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++)     // 子矩阵右下角x坐标
            {
                for (int y2 = y1; y2 <= n; y2++) // 子矩阵右下角y坐标
                {
                    // 计算子矩阵和并更新最大值
                    res = max(res, a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1]);
                }
            }
        }
    }
    
    // 输出最大子矩阵和
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1
-1 8  0 -2
15