题解：洛谷 P1593 因子和

【题目来源】

洛谷：P1593 因子和 - 洛谷

【题目描述】

输入两个整数 \(a\) 和 \(b\)，求 \(a^b\) 的因子和。

由于结果太大，只要输出它对 \(9901\) 取模的结果。

【输入】

仅一行，为两个整数 \(a\) 和 \(b\)。

【输出】

输出一行一个整数表示答案对 \(9901\) 取模的结果。

【输入样例】

2 3

【输出样例】

15

【算法标签】

《洛谷 P1593 因子和》 #数学#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 定义int为long long类型
const int mod = 9901;  // 模数

int a, b;              // 输入的两个数
int p[10005];          // 存储质因数的数组
int cnt[10005];        // 存储对应质因数的指数
int len;               // 不同质因数的个数
int inv[10005];        // 存储逆元的数组
int ans = 1;           // 最终结果

/**
 * 质因数分解函数
 * @param x 要分解的数
 */
void init_1(int x)
{
    // 分解质因数
    for (int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)  // 找到质因数
        {
            len++;
            p[len] = i;
            // 计算该质因数的指数
            while (x % i == 0)
            {
                cnt[len]++;
                x /= i;
            }
        }
    }
    
    // 处理最后一个质因数
    if (x != 1)
    {
        len++;
        p[len] = x;
        cnt[len] = 1;
    }
}

/**
 * 快速幂函数
 * @param a 底数
 * @param b 指数
 * @param p 模数
 * @return a^b mod p
 */
int qmi(int a, int b, int p)
{
    int mul = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)  // 如果当前位为1
        {
            mul = mul * a % p;
        }
        a = a * a % p;
        b >>= 1;  // 右移一位
    }
    return mul;
}

/**
 * 初始化逆元数组
 */
void init_2()
{
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        // 计算(p[i]-1)的逆元
        inv[i] = qmi(p[i] - 1, mod - 2, mod);
    }
}

/**
 * 计算单个质因数对应的等比数列和
 * @param x 质因数的索引
 * @return 等比数列和 mod 9901
 */
int calc(int x)
{
    // 特殊情况：p[x]-1是mod的倍数
    if ((p[x] - 1) % mod == 0)
    {
        return 1 + cnt[x] * b;
    }
    
    int q = p[x];  // 公比
    int k = b * cnt[x] + 1;  // 项数
    
    // 计算等比数列和：S = (q^k - 1) / (q - 1)
    int res = qmi(q, k, mod);  // q^k mod mod
    res = (res - 1 + mod) % mod;  // q^k - 1 mod mod
    res *= inv[x];  // 乘以逆元，相当于除以(q-1)
    res %= mod;
    return res;
}

signed main()  // 使用signed代替int（因为定义了#define int long long）
{
    cin >> a >> b;
    
    // 特殊情况处理
    if (a == 1 || b == 0)
    {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }
    
    // 第一步：对a进行质因数分解
    init_1(a);
    
    // 第二步：初始化逆元数组
    init_2();
    
    // 第三步：计算每个质因数对应的等比数列和，并累乘
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        ans *= calc(i);
        ans %= mod;  // 每一步都要取模
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

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