题解：洛谷 P1072 [NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题

【题目来源】

洛谷：[P1072 NOIP 2009 提高组] Hankson 的趣味题 - 洛谷

【题目描述】

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 \(c_1\) 和 \(c_2\) 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，设某未知正整数 \(x\) 满足：

1. \(x\) 和 \(a_0\) 的最大公约数是 \(a_1\)；
2. \(x\) 和 \(b_0\) 的最小公倍数是 \(b_1\)。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 \(x\)。但稍加思索之后，他发现这样的 \(x\) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 \(x\) 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

【输入】

第一行为一个正整数 \(n\)，表示有 \(n\) 组输入数据。接下来的 \(n\) 行每行一组输入数据，为四个正整数 \(a_0,a_1,b_0,b_1\)，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 \(a_0\) 能被 \(a_1\) 整除，\(b_1\) 能被 \(b_0\) 整除。

【输出】

共 \(n\) 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 \(x\)，请输出 \(0\)，若存在这样的 \(x\)，请输出满足条件的 \(x\) 的个数；

【输入样例】

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

【输出样例】

6 
2

【算法标签】

《洛谷 P1072 Hankson的趣味题》 #数学# #枚举# #最大公约数gcd# #NOIP提高组# #2009#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                  // 测试用例数量
int a_0, a_1, b_0, b_1; // 输入参数：a0,a1,b0,b1
int ans;                // 满足条件的x的数量
int x;                  // 临时变量
int y[1000005];         // 存储b0的所有因数
int len;                // 因数的个数

// 计算最大公约数
int gcd(int x, int y)
{
    if (x % y == 0) 
        return y;
    else 
        return gcd(y, x % y);  // 递归调用，注意参数顺序
}

// 因数分解函数：找出x的所有因数
void D(int x)
{
    memset(y, 0, sizeof(y));  // 每次调用前清空数组
    len = 0;
    
    // 遍历可能的因数
    for (int i = 1; i * i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            y[++len] = i;      // 存储一个因数
            if (i * i != x)     // 避免存储重复的平方数因数
                y[++len] = x / i;  // 存储对应的另一个因数
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    cin >> n;    
    while (n--)
    {
        ans = 0;
        // 输入参数
        cin >> a_0 >> a_1 >> b_0 >> b_1;
        
        // 分解b0的所有因数
        D(b_0);
        
        // 计算比例系数
        int k = b_1 / b_0;
        
        // 检查每个因数对应的x是否满足条件
        for (int i = 1; i <= len; i++)
        {
            x = k * y[i];
            // 检查两个gcd条件
            if (gcd(x, a_0) == a_1 && gcd(x, b_0) == y[i]) 
                ans++;
        }
        
        // 输出结果
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

【运行结果】

2 
41 1 96 288 
6
95 1 37 1776
2