题解：洛谷 P1983 [NOIP 2013 普及组] 车站分级

【题目来源】

洛谷：[P1983 NOIP 2013 普及组] 车站分级 - 洛谷

【题目描述】

一条单向的铁路线上，依次有编号为 \(1,2,…,n\) 的 \(n\) 个火车站。每个火车站都有一个级别，最低为 \(1\) 级。现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 \(x\)，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站 \(x\) 的都必须停靠。
注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点。

例如，下表是 \(5\) 趟车次的运行情况。其中，前 \(4\) 趟车次均满足要求，而第 \(5\) 趟车次由于停靠了 \(3\) 号火车站（\(2\) 级）却未停靠途经的 \(6\) 号火车站（亦为 \(2\) 级）而不满足要求。

现有 \(m\) 趟车次的运行情况（全部满足要求），试推算这 \(n\) 个火车站至少分为几个不同的级别。

【输入】

第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n,m\)，用一个空格隔开。

第 \(i+1\) 行 (\(1≤i≤m\)) 中，首先是一个正整数 \(s_i (2≤s_i≤n)\)，表示第 \(i\) 趟车次有 \(s_i\) 个停靠站；接下来有 \(s_i\) 个正整数，表示所有停靠站的编号，从小到大排列。每两个数之间用一个空格隔开。输入保证所有的车次都满足要求。

【输出】

一个正整数，即 \(n\) 个火车站最少划分的级别数。

【输入样例】

9 2 
4 1 3 5 6 
3 3 5 6 

【输出样例】

2

【算法标签】

《洛谷 P1983 车站分级》 #拓扑排序# #普及+#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1005;  // 定义最大节点数

int n, m;            // n-节点数，m-关系组数
int board[N][N];     // 邻接矩阵表示图
int lvl[N];          // 存储每个节点的层级
int ans;             // 存储最终结果（最大层级）
int num;             // 临时变量，存储每组关系的节点数
int B[N];            // 标记数组，用于处理每组关系
int a, b, t;         // 临时变量，用于输入处理
queue<int> qu;       // 队列用于拓扑排序

// 计算节点x的入度
int du(int x)
{
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res += board[i][x];  // 统计所有指向x的边
    return res;
}

// 拓扑排序算法
void topo()
{
    // 初始化：将所有入度为0的节点加入队列
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (du(i) == 0)
        {
            lvl[i] = 1;      // 初始层级为1
            qu.push(i);
        }
    }

    // 处理队列中的节点
    while (qu.size())
    {
        int tmp = qu.front();
        qu.pop();
        
        // 遍历所有邻接节点
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (board[tmp][i])  // 如果存在边tmp->i
            {
                board[tmp][i] = 0;  // 删除这条边
                if (du(i) == 0)     // 如果i的入度变为0
                {
                    lvl[i] = lvl[tmp] + 1;  // 更新层级
                    qu.push(i);
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    // 处理每组关系
    while (m--)
    {
        cin >> num;
        memset(B, 0, sizeof(B));  // 清空标记数组
        
        vector<int> st;  // 存储该组的起始节点
        vector<int> ed;  // 存储该组的结束节点
        
        // 输入该组的所有节点
        cin >> a;
        B[a] = 1;
        st.push_back(a);
        
        for (int i = 2; i < num; i++)
        {
            cin >> t;
            st.push_back(t);
            B[t] = 1;
        }
        
        cin >> b;
        B[b] = 1;
        st.push_back(b);
        
        // 找出a和b之间未被标记的节点
        for (int i = a + 1; i < b; i++)
        {
            if (B[i] == 0)
                ed.push_back(i);
        }
        
        // 建立起始节点到结束节点的边
        for (int i = 0; i < st.size(); i++)
        {
            for (int j = 0; j < ed.size(); j++)
            {
                board[st[i]][ed[j]] = 1;
            }
        }
    }
    
    // 执行拓扑排序
    topo();
    
    // 找出最大层级
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = max(ans, lvl[i]);
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

9 2 
4 1 3 5 6 
3 3 5 6
2