题解：洛谷 CF106C Buns

【题目来源】

洛谷：CF106C Buns - 洛谷

【题目描述】

Lavrenty 是一名面包师，他打算制作若干带馅的面包并出售。

Lavrenty 有 \(n\) 克面团，以及 \(m\) 种不同类型的馅料。馅料类型编号为 \(1\) 到 \(m\)。Lavrenty 知道他还剩下第 \(i\) 种馅料 \(a_i\) 克。制作一个第 \(i\) 种馅料的面包需要恰好 \(b_i\) 克该种馅料和 \(c_i\) 克面团。这样的面包可以卖 \(d_i\) 图格里克。

他也可以制作没有馅料的面包。每个这样的面包需要 \(c_0\) 克面团，可以卖 \(d_0\) 图格里克。因此，Lavrenty 可以制作任意数量的带不同馅料或无馅料的面包，直到面团和馅料用完为止。烘焙后剩余的所有材料都会被丢弃。

请你计算 Lavrenty 能获得的最大图格里克数。

【输入】

第一行包含 \(4\) 个整数 \(n\)、\(m\)、\(c_0\) 和 \(d_0\)（\(1 \leq n \leq 1000\)，\(1 \leq m \leq 10\)，\(1 \leq c_0, d_0 \leq 100\)）。接下来的 \(m\) 行，每行包含 \(4\) 个整数。第 \(i\) 行包含 \(a_i\)、\(b_i\)、\(c_i\) 和 \(d_i\)（\(1 \leq a_i, b_i, c_i, d_i \leq 100\)）。

【输出】

输出一个整数，表示 Lavrenty 能获得的最大图格里克数。

【输入样例】

10 2 2 1
7 3 2 100
12 3 1 10

【输出样例】

241

【算法标签】

《洛谷 CF106C Buns》 #背包DP#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1005;  // 数组最大容量
int n, m, c0, d0, p[105], w[105], cnt, ans;  // n: 总面团重量，m: 面包种类数，c0/d0: 原始面包的消耗/收益，p: 收益数组，w: 消耗数组，cnt: 物品计数器，ans: 最大收益
int dp[N];  // 动态规划数组

int main()
{
    cin >> n >> m >> c0 >> d0;  // 读入总面团重量、面包种类数、原始面包的消耗和收益
    
    // 处理每种面包
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, c, d;
        cin >> a >> b >> c >> d;  // 读入：a(可用面团)，b(制作一个需要的基本数量)，c(制作一个的消耗)，d(制作一个的收益)
        
        int t = a / b;  // 计算可以制作的最大数量
        // 二进制拆分优化
        for (int j = 1; j <= t; j *= 2)
        {
            cnt++;
            w[cnt] = c * j;  // 总消耗
            p[cnt] = d * j;  // 总收益
            t -= j;
        }
        if (t > 0)  // 处理剩余部分
        {
            cnt++;
            w[cnt] = c * t;
            p[cnt] = d * t;
        }
    }
    
    // 01背包：使用二进制拆分后的物品
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        for (int j = n; j >= w[i]; j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);
        }
    }
    
    // 计算最终答案：考虑制作原始面包
    for (int j = 0; j <= n; j++)
    {
        // dp[j]是使用j克面团制作特殊面包的最大收益
        // 剩余n-j克面团用来制作原始面包
        ans = max(ans, dp[j] + (n - j) / c0 * d0);
    }
    
    cout << ans << endl;  // 输出最大收益
    return 0;
}

【运行结果】

10 2 2 1
7 3 2 100
12 3 1 10
241