题解：洛谷 P1525 [NOIP 2010 提高组] 关押罪犯

【题目来源】

洛谷：[P1525 NOIP 2010 提高组] 关押罪犯 - 洛谷

【题目描述】

S 城现有两座监狱，一共关押着 \(N\) 名罪犯，编号分别为 \(1∼N\)。他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为 c 的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为 \(c\) 的冲突事件。

每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到 S 城 Z 市长那里。公务繁忙的 Z 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。

在详细考察了 \(N\) 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。

那么，应如何分配罪犯，才能使 Z 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？

【输入】

每行中两个数之间用一个空格隔开。第一行为两个正整数 \(N,M\)，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。接下来的 \(M\) 行每行为三个正整数 \(a_j,b_j,c_j\)，表示 \(a_j\) 号和 \(b_j\) 号罪犯之间存在仇恨，其怨气值为 \(c_j\)。数据保证 \(1<a_j≤b_j≤N,0<c_j≤10^9\)，且每对罪犯组合只出现一次。

【输出】

共一行，为 Z 市长看到的那个冲突事件的影响力。如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出 0。

【输入样例】

4 6
1 4 2534
2 3 3512
1 2 28351
1 3 6618
2 4 1805
3 4 12884

【输出样例】

3512

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P1525 关押罪犯》 #图论# #贪心# #并查集# #排序# #二分图# #NOIP提高组# #2010#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20005;  // 定义最大囚犯数量

int n, k;            // n: 囚犯数量, k: 敌对关系数量
int p[N], d[N];      // p: 并查集父节点数组, d: 到根节点的距离数组

// 定义敌对关系结构体
struct Node 
{
    int x, y, num;   // x,y: 囚犯编号, num: 敌对值
    
    // 重载>运算符用于排序
    bool operator > (const Node &t) const 
    {
        return num > t.num;
    }
} a[100005];         // 存储所有敌对关系

/**
 * 查找根节点（带路径压缩和距离更新）
 * @param x 当前节点
 * @return 根节点
 */
int find(int x)
{
    if (p[x] == x) return x;  // 找到根节点
    
    int t = find(p[x]);       // 递归查找根节点
    d[x] = d[x] + d[p[x]];    // 更新当前节点到根节点的距离
    return p[x] = t;          // 路径压缩
}

int main()
{
    // 输入囚犯数量和敌对关系数量
    cin >> n >> k;
    
    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        p[i] = i;
    }
    
    // 输入所有敌对关系
    for (int i = 1; i <= k; i++) 
    {
        cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].num;
    }
    
    // 按敌对值从大到小排序
    sort(a + 1, a + k + 1, greater<Node>());
    
    // 处理每条敌对关系
    for (int i = 1; i <= k; i++) 
    {
        int px = find(a[i].x);  // 查找x的根节点
        int py = find(a[i].y);   // 查找y的根节点
        
        if (px != py) 
        {
            // 合并两个集合（将两个监狱分开）
            p[px] = py;
            // 维护距离关系：x应在y的下一层
            d[px] = d[a[i].y] + 1 - d[a[i].x];
        } 
        else 
        {
            // 检查是否满足敌对关系
            if (((d[a[i].x] - d[a[i].y]) % 2 + 2) % 2 != 1) 
            {
                // 找到第一个不满足敌对关系的冲突
                cout << a[i].num;
                return 0;
            }
        }
    }
    
    // 如果没有冲突，输出0
    cout << 0;
    return 0;
}

【运行结果】

4 6
1 4 2534
2 3 3512
1 2 28351
1 3 6618
2 4 1805
3 4 12884
3512