题解：洛谷 P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

【题目来源】

洛谷：P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈 - 洛谷 (luogu.com.cn)

【题目描述】

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，\(1,2,\dots,n\)（图示为 \(1\) 到 \(3\) 的情况），栈 \(A\) 的深度大于 \(n\)。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 \(n\)，计算并输出由操作数序列 \(1,2,\dots,n\) 经过操作可能得到的输出序列的总数。

【输入】

输入文件只含一个整数 \(n(1\le n\le 18)\)。

【输出】

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

【输入样例】

3

【输出样例】

5

【解题思路】

【算法标签】

《洛谷 P1044 栈》 #动态规划,dp# #数学# #递推# #Catalan数# #栈# #NOIP普及组# #2003#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    long long n;  // 输入的数字n
    long long f[20] = {1, 1, 2};  // 初始化前三个卡特兰数
  
    cin >> n;  // 读取输入n
  
    // 计算卡特兰数f[3]到f[n]
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        f[i] = 0;  // 初始化当前卡特兰数为0
        // 根据卡特兰数递推公式计算
        for (int k = 1; k <= i; k++) {
            f[i] += f[k - 1] * f[i - k];  // 累加各项乘积
        }
    }
  
    cout << f[n];  // 输出第n个卡特兰数
    return 0;
}

// 使用记忆化DFS重写一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int dp[20][20][20]; // 记忆化数组

// 记忆化DFS函数
// x: 当前已确定的左括号数量
// y: 可用的右括号数量（已匹配的左括号）
// z: 剩余未使用的左括号数量
// n: 总括号对数
int dfs(int x, int y, int z, int n) {
    // 所有括号都已使用
    if (x == n) return 1;
  
    // 如果已经计算过，直接返回结果
    if (dp[x][y][z]) return dp[x][y][z];
  
    // 尝试添加右括号（如果有可匹配的左括号）
    if (y > 0) 
        dp[x][y][z] += dfs(x + 1, y - 1, z, n);
  
    // 尝试添加左括号（如果还有剩余）
    if (z > 0) 
        dp[x][y][z] += dfs(x, y + 1, z - 1, n);
  
    return dp[x][y][z];
}

int main() {
    cin >> n;
    // 初始状态：0个已确定的左括号，0个可匹配的右括号，n个剩余的左括号
    cout << dfs(0, 0, n, n);
    return 0;
}

【运行结果】

3
5