回溯算法

回溯算法

学习参考：程序员卡尔——代码随想录

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回溯算法理论

首先强调：回溯法并不高效

因为回溯法的本质是穷举，穷举所有可能，选出我们想要的答案

回溯法解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，因为回溯法解决的问题都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成了树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯法模板

• 回溯函数模板返回值及参数
• 回溯函数终止条件
• 回溯搜索的遍历过程

模板框架如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

例题一：组合问题

点击跳转力扣题目

题目描述：给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。你可以按 任何顺序 返回答案。

示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [[2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4]]

分析

如果用回溯法来解决的话，可以将本体抽象为下面的树形结构：

可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4，从左向右取数，取过的数，不再重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

解法

• 递归函数的返回值及参数

需要定义两个集合，一个用于存放符合条件的单一组合，一个用于存放符合条件的结果的集合。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k个数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

递归函数的整体代码如下：

List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
void combineHelper(int n, int k, int startIndex){}

• 回溯函数终止条件

回溯函数的逻辑是一层一层往下取数据，因此当取到的数据的个数为子集的大小k时，就不需要再继续往下。因此回溯函数的终止条件就是满足path.size == k。此时在达到终止条件时，需要将path保存起来，并终止本层递归。

代码如下：

if (path.size() == k){
    result.add(new ArrayList<>(path));
    return;
}

• 回溯搜索遍历过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

注意：当path.size()==k时，达到终止条件，此时需要返回上一层，因此需要将path的最后一个数据移除。

代码如下：

for (int i =startIndex;i<=n;i++){
    path.add(i);
    combineHelper(n,k,i+1);
    path.removeLast();
}

path.removeLast();部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

总结

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}