C++ dp动态规划经典问题-爬楼梯 [LeetCode 70]

（1）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

这里参考@代码随想录的分析：

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

所以要定义一个一维数组来记录不同楼层的状态，确定dp数组以及下标的含义:  dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

由于dp[0]不确定意义，所以不做讨论。

代码：

直接递归在n过大后，可能存在栈溢出的情况

int climbStairs(int n) {
        if(n==2)
            return 2;
        if(n==1)
            return 1;
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
}

比较常用的一种解法是：

int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];

节省空间的话，有：

    int climbStairs(int n) {
        if(n<=2)
            return n;
        int i1=1,i2=2;
        int temp;
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            temp=i1+i2;
            i1=i2;
            i2=temp;
        }
        return i2;
    }

（2）继续深化，就是一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到 m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶