排游列戏(prem)

排游列戏(prem)

题目背景

这是一道交互题。为方便选手理解，本题提供一句话题意，简要题意，完整形式化题意，且附带说明图。
请注意本题 \(R\) 的数据范围。

在“排列游戏”玩过许多轮之后，小 H 和小 L 又想出了新的“排游列戏”。

这一次，小 H 不再拿出一个排列让小 L 去猜，而是拿出了一块结构复杂的电子电路板。和之前一样，小 H 会事先秘密确定答案，而小 L 只能通过有限次询问，一步步推断出隐藏的信息。

对小 L 来说，这像是另一种形式的“猜测游戏”：
只不过上一次要猜的是一个排列，这一次要猜的，则是电路板上哪些组件其实不是表面看起来那样。

于是，两人的游戏来到了电路板前。

题目描述

小 H 正在玩一个电子积木。

该电子积木由 \(N-R\) 个 \(\texttt{AND}\) 组件、\(R\) 个 \(\texttt{OR}\) 组件和一个电路板组成。电路板包含 \(2N + 1\) 个开关和 \(N\) 个组件插槽，每个组件插槽可以放置一个 \(\texttt{AND}\) 组件或 \(\texttt{OR}\) 组件。根据放置的组件和开关状态，电路板会输出 \(0\) 或 \(1\)。

一句话说明

给定一张逻辑电路图，图的形态是一棵根为0的二叉树，其中每个点上有逻辑门 AND 或 OR，且 OR 的数量至多为 \(R\)。你每次可以设置所有输入/取反开关的状态，并得到整个电路最终在根处的输出；请用不超过 \(1000\) 次查询确定所有门的类型。

简要说明

有一个由 \(N\) 个二元逻辑门组成的电路，每个位置放的要么是 AND，要么是 OR。其中大多数是 AND，但至多混入了 \(R\) 个 OR，你需要把这些位置找出来。

电路的整体结构是一棵二叉树。所有的叶子是可以由你自由设置的输入，每个非叶子节点会接收两个儿子的输出作为输入，且都可以选择是否将输出取反。
根为 \(0\)，非叶子节点编号为 \(0\sim N-1\)，叶子结点编号为 \(N\sim 2N\)。

你每次询问时，可以给整块电路的所有开关（包含叶子的输入开关和每个非叶子节点是否取反输出的开关）统一指定 0/1 状态。
对于非叶子节点，0 表示不取反 1 表示要取反；对于输入则与字面意思相同。
随后电路计算结果，并只返回根节点输出的一个 0 或 1。

你的目标是：在至多 \(1000\) 次询问内，根据这些返回结果，判断每个非叶子节点里放的是 AND 还是 OR，并输出整个长度为 \(N\) 的答案串。

完整形式化说明

• 每个开关被分配一个从 \(0\) 到 \(2N\) 的编号，且每个开关有 \(\texttt{ON}\)（开启）或 \(\texttt{OFF}\)（关闭）两种状态。每个开关会按以下规则输出 \(0\) 或 \(1\)。

• 每个组件插槽被分配一个从 \(0\) 到 \(N - 1\) 的编号。每个组件插槽也会按以下规则输出 \(0\) 或 \(1\)。

• 每个开关和组件插槽的输出值按从高编号到低编号的顺序确定。若开关和组件插槽编号相同，则先确定组件插槽的输出值。

  • 对于 \(j = 2N, 2N - 1, \ldots, N\) 的开关：

    • 若开关 \(j\) 为 \(\texttt{OFF}\)，则输出 \(0\)。
    • 若开关 \(j\) 为 \(\texttt{ON}\)，则输出 \(1\)。

  • 对于 \(j = N - 1, N - 2, \ldots, 0\) 的开关：

    • 设组件插槽 \(j\) 的输出值为 \(x\)。
    • 若开关 \(j\) 为 \(\texttt{OFF}\)，则输出 \(x\)。
    • 若开关 \(j\) 为 \(\texttt{ON}\)，则输出 \(1 - x\)。

  • 对于组件插槽 \(i = N - 1, N - 2, \ldots, 0\)：

    • 它连接到两个开关 \(U_i\) 和 \(V_i\)（满足 \(i < U_i < V_i \leq 2N\)）。
    • 设开关 \(U_i\) 的输出为 \(x\)，开关 \(V_i\) 的输出为 \(y\)。
    • 若组件插槽 \(i\) 放置的是 \(\texttt{AND}\) 组件，则输出 \(\min(x, y)\)。
    • 若组件插槽 \(i\) 放置的是 \(\texttt{OR}\) 组件，则输出 \(\max(x, y)\)。

• 对于每个 \(j = 1, 2, \ldots, 2N\)，存在且仅存在一个 \(i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)）满足 \(U_i = j\) 或 \(V_i = j\)。

• 电路板的最终输出值等于开关 \(0\) 的输出值。

当 \(N=3\)，且 \(U_0=1, V_0=2, U_1=3, V_1=4, U_2=5, V_2=6\) 时，若在组件插槽 \(0\) 和 \(1\) 放置 \(\texttt{AND}\) 组件，在组件插槽 \(2\) 放置 \(\texttt{OR}\) 组件，其电路结构如下图所示。

小 L 原本以为所有组件插槽中放置的都是 \(\texttt{AND}\) 组件，但小 H 告诉他，其中实际混入了最多 \(R\) 个 \(\texttt{OR}\) 组件。由于两种组件外观相同，必须通过电路板的输出值来识别。你的任务是通过最多 \(1000\) 次查询，确定哪些组件插槽包含 \(\texttt{OR}\) 组件。每次查询的格式为：

• 指定所有 \(2N + 1\) 个开关的状态。
• 小 H 将根据此配置返回电路板的输出值。

请根据电路板的连接结构和 \(\texttt{OR}\) 组件的数量上限，编写一个程序来解决此问题。

实现细节

你不需要，也不应该实现 main 函数。你应当实现以下的函数：

std::string solve(int N, int R, std::vector<int> U, std::vector<int> V)

• 此函数在每个测试点中仅被调用一次。

• 参数 N 表示组件插槽的数量 \(N\)。

• 参数 R 表示 \(\texttt{OR}\) 组件的数量上限 \(R\)。

• 参数 U 和 V 是长度为 \(N\) 的数组，其中 U[i] 和 V[i]（\(0 \leq i \leq N - 1\)）表示组件插槽 \(i\) 连接的开关编号 \(U_i\) 和 \(V_i\)，也即点 \(i\) 的两个儿子。

• 此函数必须返回一个长度为 \(N\) 的字符串 t，且满足以下条件：

  • 对每个 \(i = 0, 1, \ldots, N - 1\)，若组件插槽 \(i\) 包含 \(\texttt{AND}\) 组件，则 t[i] 必须为 &（&）；若包含 \(\texttt{OR}\) 组件，则 t[i] 必须为 |（|）。

• 若返回的字符串 t 长度不为 \(N\)，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [1]}\)。

• 若 t 包含 & 或 | 以外的字符，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [2]}\)。

• 若实际组件类型与 t 描述不符，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [3]}\)。

你可以调用以下的函数：

int query(std::string s)

• 此函数用于向小 H 发起查询。

• 参数 s 必须是一个长度为 \(2N + 1\) 且仅由 '0' 和 '1' 组成的字符串。对每个 \(j = 0, 1, \ldots, 2N\)：

  • 若 s[j] 为 \(\texttt{0}\)，则开关 \(j\) 设为 \(\texttt{OFF}\)；
  • 若 s[j] 为 \(\texttt{1}\)，则开关 \(j\) 设为 \(\texttt{ON}\)。

• 若 s 长度不为 \(2N + 1\)，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [4]}\)。

• 若 s 包含 '0' 或 '1' 以外的字符，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [5]}\)。

• 此函数最多调用 \(1000\) 次。若超过此限制，程序将被判为 \(\texttt{Wrong Answer [6]}\)。

• 函数返回值是按 s 配置开关后电路板的输出值。

注意事项

• 你可以定义额外的辅助函数或全局变量以供内部使用。
• 你的程序不得使用标准输入/输出或其他文件交互，但可将调试信息输出到标准错误流。
• 实际评测程序是非自适应的（non-adaptive），即交互过程开始时答案已固定。

编译运行

你可以从【附件】中下载包含 Sample Grader 的压缩文件以测试程序。压缩文件中还包含一个示例源代码文件。

Sample Grader 为 grader.cpp。测试时需将 grader.cpp、prem.cpp 和 prem.h 置于同一目录。使用以下命令编译：

g++ -std=gnu++20 -O2 -o grader grader.cpp prem.cpp

编译成功后，将生成可执行文件 grader。

注意：实际评测程序与 Sample Grader 不同。 Sample Grader 以单进程运行，从标准输入读取数据并将结果写入标准输出。

输入格式

设 \(T\) 为函数 solve 应该返回的长度为 \(N\) 的字符串。样例评测程序从标准输入读取以下格式的数据：

\(N\) \(R\)
\(U_{0}\) \(V_{0}\)
\(U_{1}\) \(V_{1}\)
\(\vdots\)
\(U_{N−1}\) \(V_{N−1}\)
\(T\)

输出格式

样例评测程序将以下信息输出到标准输出：

• 若程序被判定为正确，输出查询调用次数如 \(\texttt{Accepted: 22}\)；
• 若程序被判定为任何类型的错误答案，输出错误类型如 \(\texttt{Wrong Answer [4]}\)。

样例评测程序在首次检测到错误条件时立即终止执行。若多个错误条件同时存在，仅显示其中一个。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 1
1 2
|

输出 #1

|

输入输出样例 #2

输入 #2

3 3
1 2
3 4
5 6
&&|

输出 #2

&&|

说明/提示

样例交互

样例交互 \(1\)

交互库调用	返回值	选手程序调用	返回值
solve(1, 1, [1], [2])
		query("010")	\(1\)
		query("011")	\(1\)
		query("111")	\(0\)
	"|"

首次调用 query 时的输出计算过程：

• 开关 \(1\) 设为 \(\texttt{ON}\)，开关 \(2\) 设为 \(\texttt{OFF}\)，因此开关 \(1\) 输出 \(1\)，开关 \(2\) 输出 \(0\)。
• 组件插槽 \(0\) 包含 \(\texttt{OR}\) 组件，连接的开关 \(1\) 和 \(2\) 分别输出 \(1\) 和 \(0\)，因此组件插槽 \(0\) 输出 \(\max(1, 0) = 1\)。
• 开关 \(0\) 设为 \(\texttt{OFF}\)，而组件插槽 \(0\) 输出 \(1\)，因此开关 \(0\) 输出 \(1\)。
• 最终，电路板的输出为 \(1\)。

该样例满足所有子任务的限制。

样例交互 \(2\)

交互库调用	返回值	选手程序调用	返回值
solve(3, 3, [1, 3, 5], [2, 4, 6])
		query("0001001")	\(0\)
		query("0001110")	\(1\)
		query("0000011")	\(0\)
	"&&|"

题目描述中的电路图对应此示例。

该样例满足子任务 \(3,6\sim 9\) 的限制。

附件中：

• \(\texttt{sample-01-in.txt}\) 对应样例 1；
• \(\texttt{sample-02-in.txt}\) 对应样例 2；
• \(\texttt{sample-03-in.txt}\) 满足子任务 \(3,4,5,8,9\) 的限制；
• \(\texttt{sample-04-in.txt}\) 满足子任务 \(3,6\sim 9\) 的限制。

数据范围

• \(1 \leq N \leq 8,000\)；
• \(1 \leq R \leq \min(N, 120)\)；
• 对每个 \(i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)），满足 \(i < U_i < V_i \leq 2N\)；
• 对于每个 \(j = 1, 2, \ldots, 2N\)，存在且仅存在一个 \(i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)）满足 \(U_i = j\) 或 \(V_i = j\)。

子任务

• \(\text{Subtask 1 (1 pts)}\)：\(N = 1\)；
• \(\text{Subtask 2 (4 pts)}\)：\(N \leq 1,000\) 且 \(R = 1\)；
• \(\text{Subtask 3 (5 pts)}\)：\(N \leq 1,000\)；
• \(\text{Subtask 4 (17 pts)}\)：\(U_i = i + 1\)，\(V_i = N + 1 + i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)），且 \(R \leq 70\)；
• \(\text{Subtask 5 (8 pts)}\)：\(U_i = i + 1\)，\(V_i = N + 1 + i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)）；
• \(\text{Subtask 6 (23 pts)}\)：\(U_i = 2i + 1\)，\(V_i = 2i + 2\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)），且 \(R \leq 70\)；
• \(\text{Subtask 7 (8 pts)}\)：\(U_i = 2i + 1\)，\(V_i = 2i + 2\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)）；
• \(\text{Subtask 8 (27 pts)}\)：\(R \leq 70\)；
• \(\text{Subtask 9 (7 pts)}\)：无额外限制。