思考题：矩阵拆分行列式

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主要解决一类矩阵的行列式求和，要求矩阵有一定的对称性。 我们可以观察式子性质，将其拆成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，快速地求解。

问题1. 有大小为 \(n\times n\) 的方阵 \(A\)，其中 \(a_{i,j}=\gcd(i,j)\)，求解其行列式。

问题1.1 基本求解方法是高斯消元，试着将矩阵消成上三角形式，然后打个表观察一下对角线上的值？

answer

如果你做了这事，你会发现对角线上的值 $a_{i,i}=\varphi(i)$。因此答案就是 $\prod_{i=1}^n \varphi(i)$。

问题1.2 你能试着解释这个现象吗？

answer（本题集核心解法）

我们可以将原矩阵进行欧拉反演，可以写成 $$a_{i,j}=\sum_{d|\gcd(i,j)} \varphi(d)$$ $$=\sum_{d} [d|i][d|j]\varphi(d)$$ 可以拆成两个矩阵 $B,C$ 的乘积。 $$b_{i,d}=[d|i]\varphi(d)$$ $$c_{d,j}=[d|j]$$ $$A=B\times C$$ 且我们会发现 $B$ 是一个下三角矩阵，行列式为对角线之积 $\prod_{i=1}^n \varphi(i)$，$C$ 是一个上三角矩阵，行列式为1，相乘即为答案。

问题2. 给定一个长为 \(n\) 的序列 \(p\)，修改矩阵定义为 \(a_{i,j}=p_{\gcd(i,j)}\)，求行列式。

answer

我们希望构造一个序列 $q$，满足： $$a_{i,j}=\sum_{d} [d|i][d|j]q_d$$ 对照容易发现，其只需满足： $$p_{n}=\sum_{d|n} q_d$$ 这是狄利克雷前缀和的形式，因此其逆运算为狄利克雷差分。只需做一次得到 $q$，仿照例1即得做法。 时间复杂度 $O(n\log\log n)$。

问题3. 给定一个有 \(n\) 个点的树，点有权值 \(p_u\)，修改矩阵定义为 \(a_{i,j}=p_{LCA(i,j)}\)，求行列式。

answer

看做外向树。$[x\rightarrow y]$ 表示 $x$ 能到 $y$，也即 $x$ 为 $y$ 的祖先。 $$a_{i,j}=\sum_{d} [d\rightarrow i][d\rightarrow j]q_d$$ 也即： $$p_{n}=\sum_{d\rightarrow n} q_d$$ 注意到这是在根方向上的前缀和，因此逆运算直接差分： $$q_d=p_d-p_{fa_d}$$

问题3.1. 如果还要维护点权子树加呢？

answer

注意到 $p$ 的变化只有操作的点有，$O(1)$ 变化量容易进行维护。

[bonus]问题3.2. 如果还要维护链加呢？点权初始为奇数，只会加偶数，询问结果对 \(2^{k}\) 取模。
\(n\le 2\times 10^4,k\le 6.\)

answer

这是一个缝合题。首先可以差分成修改到根。修改的这条链上的点自身差分值并不改变，只有根处会改，这部分是 $O(1)$ 的。

其次就是链上每个点的其他儿子会被修改。分别处理全是轻儿子和有重儿子的情况。后者只有 \(\log n\) 个。

对于第一部分，因为答案取模，所以我们可以对于一个点将这个点的贡献（所有轻儿子的点权乘积）写成一个与加的值 \(x\) 有关的多项式（至多8项，多了就模成0了），同时维护一条重链上这个东西的区间和，加了之后应该是一个卷积形式？我没仔细想但是感觉能做。就可以做到修改。

对于第二部分，就会要更新其父亲的轻儿子点权乘积。我们也对邻域开SGT，维护前后缀轻儿子的多项式即可。

时间复杂度 \(O(k^2n\log^2 n)\)。

问题4. 修改矩阵定义为 \(a_{i,j}=\max(i,j)\)，求行列式。

answer

$$max(i,j)=\sum_{k=1}^{n} [k\le i][k\le j]\times 1$$ 别的不用多说。

问题5. 给定一个有 \(n\) 个点的DAG，点有权值 \(p_u\)，修改矩阵定义为 \(a_{i,j}=p_{LCA(i,j)}\)，此处LCA的定义是指能同时到达 \(i,j\) 的点中最近的，数据保证任意点对LCA唯一，保证总路径条数 \(\le m\)，求行列式。

answer

式子与树上LCA的式子是一模一样的，但是后半段差分的处理不一样。 貌似正解是DAG链剖分，但是我不会。 暴力的做法就是这个式子： $$q_n=p_n-\sum_{d\rightarrow n\land d\neq n} q_d$$ 直接 $O(n)$ dfs求所有前驱即可，复杂度是 $O(n^2)$。加了各种剪枝的线段树合并也能拿不少分。

[bonus]问题6. 如果认为掌握了试着做做这题。P10182 一径入繁华