斐波那契数列相关恒等式

前置规定

\(F_0=0,F_1=1,F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\)

公式部分

1. \(\sum_{i=1}^n F_i=F_{n+2}-1\)
2. \(\sum_{i=1}^n F_{2i-1}=F_{2n}\)
3. \(\sum_{i=1}^n F_{2i}=F_{2n+1}-1\)
4. \(\sum_{i=1}^n F_i^2=F_nF_{n+1}\)
5. \(F_n=F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m}\)
6. \(F_{n-1}F_{n+1}=F^2_n+(-1)^n\)
7. \(\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}\)

应用部分

一道模拟赛题。跳过前置推导，题目即要求如下式子：
一个\(2^k\times 2^k\)的正方形矩阵，假设左上角的是\(F_a\)，且对于每个元素\(F_i\)，右边一个是\(F_{i-1}\)，下面一个是\(F_{i+2}\)并以此类推，求所有元素之和。
我们先对每行求和，第一行就是：

\[\sum_{x=a-2^k+1}^{a} F_x \]

由著名的斐波那契数列前缀和公式：

\[\sum_{x=1}^n F_x=S_n=F_{n+2}-1 \]

我们可以写成\(S_a-S_{a-2^k}=F_{a+2}-F_{a-2^k+2}\)。
再对竖列上求和：

\[\sum_{x=0}^{2^k-1} F_{a+2+2x}-F_{a-2^k+2+2x} \]

于是分讨其奇偶性，分别应用著名的斐波那契奇偶前缀和公式：

\[\sum_{x=1}^n F_{2x-1}=F_{2n} \]

\[\sum_{x=1}^n F_{2x}=F_{2n+1}-1 \]

即可完成计算。